Введение.

Психология получила статус науки благодаря эксперименту и использованию математики при обработке экспериментальных данных и психологических исследований. Математика в психологии служит таким логическим инструментом доказательства, давая возможность научного понимания психологических закономерностей и более глубокого их анализа Математическая статистика - область современной математики, основанная на теории вероятностей и занятая поиском законов изменения и способов измерения случайных величин, обоснованием методов расчетов, производимых с такими величинами.

Математическая статистика возникла (XVII в) и развивалась параллельно с теорией вероятностей. Дальнейшее развитие математической статистики (вторая половина XIX - начало XX в) обязано, в первую очередь, П.Л. Чебышеву, А.А. Маркову, А.М. Ляпунову, а также К. Гауссу, А. Кетле, Ф. Гальтону, К. Пирсону и др.

В XX в. Наиболее существенный вклад в математическую статистику был сделан советскими математиками (В.И. Романовский, Е.Е. Слуцкий, А.Н. Колмогоров, Н.В. Смирнов), а также английскими (Стъюдент, Р. Фишер, Э. Пирсон) и американскими (Ю. Нейман, А. Вальд) учеными.

Еще в середине XIX начале XX века наблюдается, правда, еще не вполне регулярные, но, тем не менее, приносящие обоюдную пользу, - попытки провести аналогии между психологическими и физическими исследованиями, особенно в области построения лабораторного эксперимента, анализа и обработки экспериментальных данных. Почти одновременно в психологию и физику приходят вероятностные и статистические методы, теория дифференциальных уравнений, вариационное исчисление и другие. О том, чтобы математически описать деятельность мозга мечтал И.П. Павлов.

Благодаря проникновению в количественные свойства психических явлений, психология получила множество логических доказательств, которые явились научным обоснованием изучения психики человека. Именно поэтому математика как строгая логическая дисциплина необходима любому специалисту, практикующемуся в области психологии. Современная математическая статистика представляет собой большую и сложную систему знаний. Нельзя рассчитывать на то, что каждый психолог овладеет этими знаниями. Статистики разработали целый комплекс простых методов, которые совершенно доступны любому квалифицированному специалисту психологу.

Все необходимые для их применения вычисления можно выполнять вручную или на компьютере. Уместное грамотное применение этих методов позволит практику и исследователю, во всяком случае проведя начальную обработку, получить общую картину того, что дают количественные результаты его исследований, оперативно проконтролировать ход исследований. Статистические методы раскрывают связи между изучаемыми явлениями. Однако необходимо твердо знать, что, как бы ни была высока вероятность таких связей, они не дают права исследователю признать их причинно-следственными отношениями. Чтобы подтвердить или отвергнуть существование причинно-следственных отношений, исследователю зачастую приходится продумывать целые серии экспериментов. Если они будут правильно построены и проведены, то статистика поможет извлечь из результатов этих экспериментов информацию, которая необходима исследователю, чтобы либо обосновать и подтвердить свою гипотезу, либо признать ее недоказанной.

Математическая статистика также нужна психологу не только для проведения научных исследований, а постоянно в его повседневной работе.

и крутой лестницы которую нужно преодолеть на пути к уверенному применению математических методов.

Основные понятия, используемые в математической обработке психологических данных.

1)генеральная совокупность и выборка

2) признаки и переменные.

3) шкалы измерения.

4) статистические гипотезы.

5) статистические критерии.

В математической статистике выделяют два фундаментальных понятия: генеральная совокупность и выборка.

Совокупностью – называется практически счетное множество некоторых объектов или элементов, интересующих исследователя;

Свойством совокупности называется реальное или воображаемое качество, присущее некоторым всем ее элементам. Свойство может быть случайным или неслучайным. Параметром совокупности называется свойство, которое можно квантифицировать в виде константы или переменной величины. Гомогенной или однородной называется совокупность, все характеристики которой присущи каждому ее элементу; Гетерогенной или неоднородной называется совокупность, характеристики которой сосредоточены в отдельных подмножествах элементов.

Важным параметром является объем совокупности – количество образующих ее элементов. Величина объема зависит от того, как определена сама совокупность, и какие вопросы нас конкретно интересуют. Понятно, что совокупности большого объема можно исследовать только выборочным путем.

Выборкой называется некоторая часть генеральной совокупности, то, что непосредственно изучается. Выборки классифицируются по репрезентативности, объему, способу отбора и схеме испытаний. Репрезентативная – выборка адекватно отображающая генеральную совокупность в качественном и количественном отношениях.Иными словами репрезентативная выборка представляет собой меньшую по размеру, но точную модель той генеральной совокупности которую она должна отражать, иначе результаты не совпадут с целями исследования [ 4; 33 ].

Репрезентативность зависит от объема, чем больше объем, тем выборка репрезентативней.

По схеме испытаний – выборки могут быть независимые и зависимые.

По объему выборки делят на малые и большие. К малым относят выборки, в которых число элементов n ≤ 30. Понятие большой выборки не определено, но большой считается выборка в которой число элементов > 200 и средняя выборка удовлетворяет условию 30≤ n≤ 200. Это деление условно.

2. Признаки и переменные - это измеряемые психологические явления. Такими явлениями могут быть время решения задачи, количество допущенных ошибок, уровень тревожности, показатель интеллектуальной лабильности, интенсивность агрессивных реакций, угол поворота корпуса в беседе, показатель социометрического статуса и множество других переменных. Понятия признака и переменной могут использоваться как взаимозаменяемые. Они являются наиболее общими. Иногда вместо них используются понятия показателя или уровня, например уровень настойчивости, показатель вербального интеллекта и др.

Математическая обработка - это оперирование со значениями признака, полученными у испытуемых в психологическом исследовании. Такие индивидуальные результаты называют также "наблюдениями", "наблюдаемыми значениями", "вариантами", "датами" и др. значение признака определяется при помощи специальных шкал измерения.

3. Шкалы измерения . Измерение - это приписывание числовых форм объектами или событиям в соответствии с определенными правилами.

С. Стивенсом предложена классификация из 4 типов шкал измерения:

а) Номинативная, или номинальная, или шкала наименований;

б) Порядковая, или ординальная, шкала;

в) Интервальная, или шкала равных интервалов;

г) Шкала равных отношений.

Шкала наименований . К этой шкале относятся материалы, в которых изучаемые объекты отличаются друг от друга по их качеству. При обработке таких материалов нет никакой нужды в том, чтобы располагать эти объекты в каком-то порядке, исходя из их характеристик.

Шкала порядка . Если в шкале наименований порядок следования изучаемых объектов практически не играет никакой роли, то в шкале порядка - это видно из ее названия - именно на эту последовательность переключается все внимание. К этой шкале в статистике относят такие исследовательские материалы, в которых рассмотрению подлежат объекты, принадлежащие к одному или нескольким классам, но отличающиеся при сравнении одного с другим: больше - меньше, выше - ниже и т.п.

Шкала интервалов . К ней относятся такие материалы, в которых дана количественная оценка изучаемого объекта в фиксированных единицах. Например, в опытах учитывалось, сколько точек могут поставить, работая с максимально доступной скоростью, испытуемые. Оценочными единицами в опытах служило число точек. Подсчитав их, исследователь получил то абсолютное число точек, которое оказалось возможным поставить за отведенное время каждому участнику опытов. Главная трудность при отнесении материалов к шкале интервалов состоит в том, что нужно располагать такой единицей, которая была бы при всех повторных изменениях тождественной самой себе, т.е. одинаковой и неизменной.

Шкала отношений. К этой шкале относятся материалы, в которых учитываются не только число фиксированных единиц, как в шкале интервалов, но и отношения полученных суммарных итогов между собой. Чтобы работать с такими отношениями, нужно иметь некую абсолютную точку, от которой ведется отчет. При изучении психологических объектов эта шкала практически неприменима.

4. Статистические гипотезы. Формулирование гипотез систематизирует предположения исследователя и представляет их в четком и лаконичном виде. Благодаря гипотезам исследователь не теряет путеводной нити в процессе расчетов и ему легко понять после их окончания, что, собственно, он обнаружил. Статистические гипотезы подразделяются на нулевые и альтернативные, направленные и ненаправленные.

Нулевая гипотеза - это гипотеза об отсутствий различий. Она обозначается как Н0 и называется нулевой потому, что содержит число 0: Х1 - Х2 = 0, где Х1, Х2 - сопоставляемые значения признаков. Нулевая гипотеза - это то, что мы хотим опровергнуть, если перед нами стоит задача доказать значимость различий.

Альтернативная гипотеза - это гипотеза о значимости различий. Она обозначается как Н1. альтернативная гипотеза - это то, что мы хотим доказать, поэтому иногда ее называют экспериментальной гипотезой.

Нулевая и альтернативная гипотезы могут быть направленными и ненаправленными.

5. Статистические критерии. Статистический критерий - это правило, обеспечивающее надежное поведение, то есть принятие истинной и отклонение ложной гипотезы с высокой вероятностью. Статистический критерий обозначает метод расчета определенного числа и само это число. Среди возможных статистических критериев выделяют: односторонние и двусторонние,

параметрические и непараметрические, более и менее мощные.

Параметрические критерии - это критерии, включающие в формулу расчета параметры распределения, то есть средние и дисперсии (t-критерий Стъюдента, критерий F и др.) Непараметрические критерии - это критерии, не включающие в формулу расчета параметров распределения и основанные на оперировании частотами или рангами (критерий-Q Розенбаума, критерий-Т Вилкоксона и др.)

Параметрические критерии и непараметрические критерии имеют свои преимущества и недостатки.

Параметрические критерии могут оказаться несколько более мощными, чем непараметрические, но только в том случае, если признак измерен по интервальной шкале и нормально распределен. Лишь с некоторой натяжкой мы можем считать данные, представленные в стандартизованных оценках, как интервальные. Кроме того, проверка распределения «на

нормальность» требует достаточно сложных расчетов, результат которых заранее не известен. Может оказаться, что распределение признака отличается от нормального, и нам так или иначе все равно придется обратиться к непараметрическим критериям.

Непараметрические критерии лишены всех этих ограничений и не требуют таких длительных и сложных расчетов. По сравнению с параметрическими критериями они ограничены лишь в одном – с их помощью невозможно оценить взаимодействие двух или более условий или факторов, влияющих на изменение признака. [ 1; 16 ]

Статистический анализ экспериментальных данных

Рассматрим в самых общих чертах три главных раздела статистики.

Описательная статистика, как следует из названия, позволяет описывать, подытоживать и воспроизводить в виде таблиц или графиков данные того или иного распределения, вычислять среднее для данного распределения и его размах и дисперсию.

Задача индуктивной статистики - проверка гипотезы о том, можно ли распространить результаты, полученные на данной выборке, на всю популяцию (генеральную совокупность), из которой взята эта выборка. Иными словами, правила этого раздела статистики позволяют выяснить, до какой степени можно путем индукции обобщить на большее число объектов ту или иную закономерность, обнаруженную при изучении их ограниченной группы в ходе какого-либо наблюдения или эксперимента. Таким образом, при помощи индуктивной статистики делают какие-то выводы и обобщения, исходя из данных, полученных при изучении выборки.

Наконец, измерение корреляции позволяет узнать, насколько связаны между собой две переменные, с тем чтобы можно было предсказывать возможные значения одной из них, если мы знаем другую.

Статистические методы применяются при обработке материалов психологических исследований для того, чтобы извлечь из тех количественных данных, которые получены в экспериментах, при опросе и наблюдениях, возможно больше полезной информации. В частности, в обработке данных, получаемых при испытаниях по психологической диагностике, это будет информация индивидуально-психологических особенностях испытуемых.

Методами статистической обработки результатов эксперимента называются математические приемы, формулы, способы количественных расчетов, с помощью которых показатели, получаемые в ходе эксперимента, можно обобщать, приводить в систему, выявляя скрытые в них закономерности. Речь идет о таких закономерностях статистического характера, которые существуют между изучаемыми в эксперименте переменными величинами.

Некоторые из методов математико-статистического анализа позволяют вычислять так называемые элементарные математические статистики, характеризующие выборочное распределение данных, например, выборочное среднее, выборочная дисперсия, мода, медиана и ряд других. Иные методы математической статистики, например, дисперсионный анализ, регрессионный анализ, позволяют судить о динамике изменения отдельных статистик выборки. С помощью третьей группы методов, скажем, корреляционного анализа, факторного анализа, методов сравнения выборочных данных, можно достоверно судить о статистических связях, существующих между переменными величинами, которые исследуют в данном эксперименте.

Все методы математико-статистического анализа условно делятся на первичные и вторичные. Первичными называют методы, с помощью которых можно получить показатели, непосредственно отражающие результаты производимых в эксперименте измерений. Соответственно под первичными статистическими показателями имеются в виду те, которые применяются в самих психодиагностических методиках и являются итогом начальной статистической обработки результатов психодиагностики. С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных непосредственно проверяются, доказываются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом. Эти методы, как правило, сложнее, чем методы первичной статистической обработки, и требуют от исследователя хорошей подготовки в области элементарной математики и статистики.

Методы первичной статистической обработки результатов эксперимента

К первичным методам статистической обработки относят, например, определение выборочной средней величины, выборочной дисперсии, выборочной моды и выборочной медианы. Рассмотрим методы вычисления элементарных математических статистик, начав с выборочного среднего.

Выборочное среднее значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая непосредственно средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.

Дисперсия как статистическая величина характеризует, на сколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных. Иногда вместо дисперсии для выявления разброса частных данных относительно средней используют производную от дисперсии величину, называемую выборочное отклонение. Оно равно квадрат ному корню, извлекаемому из дисперсии, и обозначается тем же самым знаком, что и дисперсия, только без квадрата - :

Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков.Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающегося в выборке.

Выборочное среднее (среднее арифметическое) значение как статистический показатель представляет собой среднюю оценку изучаемого в эксперименте психологического качества. Эта оценка характеризует степень его развития в целом у той группы испытуемых, которая была подвергнута психодиагностическому обследованию. Сравнивая непосредственно средние значения двух или нескольких выборок, мы можем судить об относительной степени развития у людей, составляющих эти выборки, оцениваемого качества.

Выборочное среднее определяется при помощи следующей формулы:

где х - выборочная средняя величина или среднее арифметическое значение по выборке; n - количество испытуемых в выборке или частных психодиагностических показателей, на основе которых вычисляется средняя величина; х k - частные значения показателей у отдельных испытуемых. Всего таких показателей n, поэтому индекс k данной переменной принимает значения от 1 до n; ∑ - принятый в математике знак суммирования величин тех переменных, которые находятся справа от этого знака. Выражение соответственно означает сумму всех х с индексом k, от 1до n. В психодиагностике и в экспериментальных психолого-педагогических исследованиях среднее, как правило, не вычисляется с точностью, превышающей один знак после запятой, т.е. с большей, чем десятые доли единицы. В психодиагностических обследованиях большая точность расчетов не требуется и не имеет смысла, если принять во внимание приблизительность тех оценок, которые в них получаются, и достаточность таких оценок для производства сравнительно точных расчетов.

Мода. Числовой характеристикой выборки, как правило, не требующей вычислений, является так называемая мода. Модой называют количественное значение исследуемого признака, наиболее часто встречающееся в выборке. Для симметричных распределений признаков, в том числе для нормального распределения, значение моды совпадает со значениями среднего и медианы. Для других типов распределении, несимметричных, это не характерно. К примеру, в последовательности значений признаков 1, 2, 5, 2, 4, 2, 6, 7, 2 модой является значение 2, так как оно встречается чаще других значений - четыре раза.

Моду находят согласно следующим правилам:

1) В том случае, когда все значения в выборке встречаются одинаково часто, принято считать, что этот выборочный ряд не имеет моды. Например: 5, 5, 6, 6, 7, 7 - в этой выборке моды нет.

2) Когда два соседних (смежных) значения имеют одинаковую частоту и их частота больше частот любых других значений, мода вычисляется как среднее арифметическое этих двух значений. Например, в выборке 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 6 частоты рядом расположенных значений 2 и 5 совпадают и равняются 3. Эта частота больше, чем частота других значений 1 и 6 (у которых она равна 1). Следовательно, модой этого ряда будет величина =3,5

3) Если два несмежных (не соседних) значения в выборке имеют равные частоты, которые больше частот любого другого значения, то выделяют две моды. Например, в ряду 10, 11, 11, 11, 12, 13, 14, 14, 14, 17 модами являются значения 11 и 14. В таком случае говорят, что выборка является бимодальной.

Могут существовать и так называемые мультимодальные распределения, имеющие более двух вершин (мод).

4) Если мода оценивается по множеству сгруппированных данных, то для нахождения моды необходимо определить группу с наибольшей частотой признака. Эта группа называется модальной группой.

Медиана. Медианой называется значение изучаемого признака, которое делит выборку, упорядоченную по величине данного признака, пополам. Справа и слева от медианы в упорядоченном ряду остается по одинаковому количеству признаков. Например, для выборки 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 7, 9 медианой будет значение 5, так как слева и справа от него остается по четыре показателя. Если ряд включает в себя четное число признаков, то медианой будет среднее, взятое как полусумма величин двух центральных значений ряда. Для следующего ряда 0, 1, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7 медиана будет равна 3,5.

Знание медианы полезно для того, чтобы установить, является ли распределение частных значений изученного признака симметричным и приближающимся к так называемому нормальному распределению. Средняя и медиана для нормального распределения обычно совпадают или очень мало отличаются друг от друга. Если выборочное распределение признаков нормально, то к нему можно применять методы вторичных статистических расчетов, основанные на нормальном распределении данных. В противном случае этого делать нельзя, так как в расчеты могут вкрасться серьезные ошибки.

Разброс выборки. Разброс (иногда эту величину называют размахом) выборки обозначается буквой R. Это самый простой показатель, который можно получить для выборки - разность между максимальной и минимальной величинами данного конкретного вариационного ряда, т.е.

R= х max - х min

Понятно, что чем сильнее варьирует измеряемый признак, тем больше величина R, и наоборот. Однако может случиться так, что у двух выборочных рядов и средние, и размах совпадают, однако характер варьирования этих рядов будет различный. Например, даны две выборки:

Х = 10 15 20 25 30 35 40 45 50X = 30 R = 40

Y = 10 28 28 30 30 30 32 32 50 Y=30 R = 40

При равенстве средних и разбросов для этих двух выборочных рядов характер их варьирования различен. Для того чтобы более четко представлять характер варьирования выборок, следует обратиться к их распределениям.

Дисперсия. Дисперсия - это среднее арифметическое квадратов отклонений значений переменной от её среднего значения.

Дисперсия как статистическая величина характеризует, насколько частные значения отклоняются от средней величины в данной выборке. Чем больше дисперсия, тем больше отклонения или разброс данных.

где 5 - выборочная дисперсия, или просто дисперсия;

2 (……) - выражение, означающее, что для всех х, от первого до последнего в данной выборке необходимо вычислить разности между частными и средними значениями, возвести эти разности в квадрат и просуммировать;

п - количество испытуемых в выборке или первичных значений, по которым вычисляется дисперсия. Однако сама дисперсия, как характеристика отклонения от среднего, часто неудобна для интерпретации.

Стандартное отклонение. Для того, чтобы приблизить размерность дисперсии к размерности измеряемого признака применяют операцию извлечения квадратного корня из дисперсии. Полученную величину называют стандартным отклонением.

Из суммы квадратов, делённых на число членв ряда извлекаеся квадратный корень.

Иными словами стандартное отклонение есть квадратный корень из дисперсии. Стандартное отклонение является более удобным показателем в

отличие от дисперсии. Для многих распределений мы можем приблизительно

знать, какой процент данных лежит внутри одного, двух, трех и более

стандартных отклонений среднего. [ 3; 7 ]

Иногда исходных частных первичных данных, которые подлежат статистической обработке, бывает довольно много, и они требуют проведения огромного количества элементарных арифметических операций. Для того чтобы сократить их число и вместе с тем сохранить нужную точность расчетов, иногда прибегают к замене исходной выборки частных эмпирических данных на интервалы. Интервалом называется группа упорядоченных по величине значений признака, заменяемая в процессе расчетов средним значением.

Вторичные методы обработки материалов психологических исследований.

С помощью вторичных методов статистической обработки экспериментальных данных непосредственно проверяются, доказываются или опровергаются гипотезы, связанные с экспериментом. Эти методы, как правило, сложнее, чем методы первичной статистической обработки, и требуют от исследователя хорошей подготовки в области элементарной математики и статистики. Обсуждаемую группу методов можно разделить на несколько подгрупп:

1. Регрессионное исчисление.

2. Методы сравнения между собой двух или нескольких элементарных статистик (средних, дисперсий и т.п.), относящихся к разным выборкам.

3. Методы установления статистических взаимосвязей между переменными, например их корреляции друг с другом.

4. Методы выявления внутренней статистической структуры эмпирических данных (например, факторный анализ).

Регрессионный анализ. Регрессионное исчисление - это метод математической статистики, позволяющий свести частные, разрозненные данные к некоторому линейному графику, приблизительно отражающему их внутреннюю взаимосвязь, и получить возможность по значению одной из переменных приблизительно оценивать вероятное значение другой

переменной [ 6;556 ].

Графическое выражение регрессионного уравнения называют линией регрессии. Линия регрессии выражает наилучшие предсказания зависимой переменой (Y) по независимым переменным (X).

Регрессию выражают с помощью двух уравнений регрессии, которые в самом прямом случае выглядят, как уравнения прямой.

Y = a 0 + a 1 * X (1)

X = b 0 + b 1 * Y (2)

В уравнении (1) Y - зависимая переменная, X - независимая переменная, a 0 - свободный член, a 1 - коэффициент регрессии, или угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям координат.

В уравнении (2) X - зависимая переменная, Y - независимая переменная, b 0 - свободный член, b 1 - коэффициент регрессии, или угловой коэффициент, определяющий наклон линии регрессии по отношению к осям координат.

Количественное представление связи (зависимости) между Х и Y (между Y и X) называется регрессионным анализом. Главная задача регрессионного анализа заключается в нахождении коэффициентов a 0, b 0, a1и b 1 и определении уровня значимости полученных аналитических выражений, связывающих между собой переменные Х и У.

При этом коэффициенты регрессии a 1 и b 1 показывают, насколько в среднем величина одной переменной изменяется при изменении на единицу меры другой. Коэффициент регрессии a 1 в уравнении можно подсчитать по формуле:

а коэффициент b 1 в уравнении по формуле

где r yx - коэффициент корреляции между переменными X и Y;

S x - среднеквадратическое отклонение, подсчитанное для переменной X;

S y - среднеквадратическое отклонение, подсчитанное для переменной У/

Для применения метода линейного регрессионного анализа необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные Х и Y должны быть измерены в шкале интервалов или отношений.

2. Предполагается, что переменные Х и Y имеют нормальный закон распределения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым. [ 4 ; 263 ].

Корреляционный анализ. Следующий метод вторичной статистической обработки, посредством которого выясняется связь или прямая зависимость между двумя рядами экспериментальных данных, носит название метод корреляций. Он показывает, каким образом одно явление влияет на другое или связано с ним в своей динамике. Подобного рода зависимости существуют, к примеру, между величинами, находящимися в причинно-следственных связях друг с другом. Если выясняется, что два явления статистически достоверно коррелируют друг с другом и если при этом есть уверенность в том, что одно из них может выступать в качестве причины другого явления, то отсюда определенно следует вывод о наличии между ними причинно-следственной зависимости.

Когда повышение уровня одной переменной сопровождается повышением уровня другой, то речь идёт о положительной корреляции. Если же рост одной переменной происходит при снижении уровня другой, то говорят об отрицательной корреляции. При отсутствии связи переменных мы имеем дело с нулевой корреляцией.

Имеется несколько разновидностей данного метода: линейный, ранговый, парный и множественный. Линейный корреляционный анализ позволяет устанавливать прямые связи между переменными величинами по их абсолютным значениям. Эти связи графически выражаются прямой линией, отсюда название "линейный". Ранговая корреляция определяет зависимость не между абсолютными значениями переменных, а между порядковыми местами, или рангами, занимаемыми ими в упорядоченном по величине ряду. Парный корреляционный анализ включает изучение корреляционных зависимостей только между парами переменных, а множественный, или многомерный, - между многими переменными одновременно. Распространенной в прикладной статистике формой многомерного корреляционного анализа является факторный анализ.

Коэффициент линейной корреляции определяется при помощи следующей формулы:

где r xy - коэффициент линейной корреляции;

х, у - средние выборочные значения сравниваемых величин;

х i , у i - частные выборочные значения сравниваемых величин;

n - общее число величин в сравниваемых рядах показателей;

S 2 x , S 2 y - дисперсии, отклонения сравниваемых величин от средних значений.К коэффициенту ранговой корреляции в психолого-педагогических исследованиях обращаются в том случае, когда признаки, между которыми устанавливается зависимость, являются качественно различными и не могут быть достаточно точно оценены при помощи так называемой интервальной измерительной шкалы. Большинство показателей, которые получают в психолого-педагогических исследованиях, относятся к порядковым, а не к интервальным шкалам (например, оценки типа "да", "нет", "скорее нет, чем да" и другие, которые можно переводить в баллы), поэтому коэффициент линейной корреляции к ним неприменим. В этом случае обращаются к использованию коэффициента ранговой корреляции, формула которого следующая:

где R s - коэффициент ранговой корреляции по Спирмену;

d i - разница между рангами показателей одних и тех же испытуемых в упорядоченных рядах;

n - число испытуемых или цифровых данных (рангов) в коррелируемых рядах.

Метод множественных корреляций в отличие от метода парных корреляций позволяет выявить общую структуру корреляционных зависимостей, существующих внутри многомерного экспериментального материала, включающего более двух переменных, и представить эти корреляционные зависимости в виде некоторой системы.

Для применения частного коэффициента корреляции необходимо соблюдать следующие условия:

1. Сравниваемые переменные должны быть измерены в шкале интервалов или отношений.

2. Предполагается, что все переменные имеют нормальный закон распределения.

3. Число варьирующих признаков в сравниваемых переменных должно быть одинаковым.

4. Для оценки уровня достоверности корреляционного отношения Пирсона следует пользоваться формулой (11.9) и таблицей критических значений для t-критерия Стьюдента при k = n - 2. [ 4 ; 253 ] Корреляционный анализ позволяет обнаружить наличие связи но не даёт оснований для установления причинно- следственных отношений.

Факторный анализ . Факторный анализ - статистический метод, который используется при обработке больших массивов экспериментальных данных. Задачами факторного анализа являются: сокращение числа переменных (редукция данных) и определение структуры взаимосвязей между переменными, т.е. классификация переменных, поэтому факторный анализ используется как метод сокращения данных или как метод структурной классификации.

Важное отличие факторного анализа от всех описанных выше методов заключается в том, что его нельзя применять для обработки первичных, или, как говорят, "сырых", экспериментальных данных, т.е. полученных непосредственно при обследовании испытуемых. Материалом для факторного анализа служат корреляционные связи, а точнее - коэффициенты корреляции Пирсона, которые вычисляются между переменными (т.е. психологическими признаками), включенными в обследование. Иными словами, факторному анализу подвергают корреляционные матрицы, или, как их иначе называют, матрицы интеркорреляций. Наименования столбцов и строк в этих матрицах одинаковы, так как они представляют собой перечень переменных, включенных в анализ. По этой причине матрицы интеркорреляций всегда квадратные, т.е. число строк в них равно числу столбцов, и симметричные, т.е. на симметричных местах относительно главной диагонали стоят одни и те же коэффициенты корреляции.

Главное понятие факторного анализа - фактор. Это искусственный статистический показатель, возникающий в результате специальных преобразований таблицы коэффициентов корреляции между изучаемыми психологическими признаками, или матрицы интеркорреляций. Процедура извлечения факторов из матрицы интеркорреляций называется факторизацией матрицы. В результате факторизации из корреляционной матрицы может быть извлечено разное количество факторов вплоть до числа, равного количеству исходных переменных. Однако факторы, выделяемые в результате факторизации, как правило, неравноценны по своему значению. Элементы факторной матрицы называется «факторными нагрузками или весами».При этом факторный вес демонстрирует меру или тесноту этой связи. [ 4; 276]

С помощью выявленных факторов объясняют взаимозависимость психологических явлений.

Чаще всего в итоге факторного анализа определяется не один, а несколько факторов, по-разному объясняющих матрицу интеркорреляций переменных. В таком случае факторы делят на генеральные, общие и единичные. Генеральными называются факторы, все факторные нагрузки которых значительно отличаются от нуля (нуль нагрузки свидетельствует о том, что данная переменная никак не связана с остальными и не оказывает на них никакого влияния в жизни). Общие - это факторы, у которых часть факторных нагрузок отлична от нуля. Единичные - это факторы, в которых существенно отличается от нуля только одна из нагрузок.

Факторный анализ может быть уместен, если выполняются следующие критерии.

1. Нельзя факторизовать качественные данные, полученные по шкале наименований, например, такие, как цвет волос (черный / каштановый / рыжий) и т.п.

2. Все переменные должны быть независимыми, а их распределение должно приближаться к нормальному.

3. Связи между переменными должны быть приблизительно линейны или, по крайней мере, не иметь явно криволинейного характера.

4. В исходной корреляционной матрице должно быть несколько корреляций по модулю выше 0,3. В противном случае достаточно трудно извлечь из матрицы какие-либо факторы.

5. Выборка испытуемых должна быть достаточно большой. Рекомендации экспертов варьируют. Наиболее жесткая точка зрения рекомендует не применять факторный анализ, если число испытуемых меньше 100, поскольку стандартные ошибки корреляции в этом случае окажутся слишком велики.

Однако если факторы хорошо определены (например, с нагрузками 0,7, а не 0,3), экспериментатору нужна меньшая выборка, чтобы выделить их. Кроме того, если известно, что полученные данные отличаются высокой надежностью (например, используются валидные тесты), то можно анализировать данные и по меньшему числу испытуемых. .

В теоретическом плане использование факторного анализа связано с разработкой так называемого факторно-аналитического подхода к изучению структуры личности, темперамента и способностей. Использование факторного анализа в этих сферах основано на широко принятом допущении, согласно которому наблюдаемые и доступные для прямого измерения показатели являются лишь косвенными и/или частными внешними проявлениями более общих характеристик. Эти характеристики, в отличие от первых, являются скрытыми, так называемыми латентными переменными, поскольку они представляют собой понятия или конструкты, которые не доступны для прямого измерения. Однако они могут быть установлены путем факторизации корреляционных связей между наблюдаемыми чертами и выделением факторов, которые (при условии хорошей структуры) можно интерпретировать как статистическое выражение искомой латентной переменной.

Заключение.

Как говорит Мак-Коннелл, статистика - это прежде всего способ мышления, и для ее применения нужно лишь иметь немного здравого смысла и знать основы математики. В нашей повседневной жизни мы, сами о том не догадываясь, постоянно занимаемся статистикой. Хотим ли мы спланировать бюджет, рассчитать потребление бензина автомашиной, оценить усилия, которые потребуются для усвоения какого-то курса, с учетом полученных до сих пор отметок, предусмотреть вероятность хорошей и плохой погоды по метеорологической сводке или вообще оценить, как повлияет то или иное событие на наше личное или совместное будущее, - нам постоянно приходится отбирать, классифицировать и упорядочивать информацию, связывать ее с другими данными так, чтобы можно было сделать выводы, позволяющие принять верное решение.
Все эти виды деятельности мало отличаются от тех операций, которые лежат в основе научного исследования и состоят в синтезе данных, полученных на различных группах объектов в том или ином эксперименте, в их сравнении с целью выяснить черты различия между ними, в их сопоставлении с целью выявить показатели, изменяющиеся в одном направлении, и, наконец, в предсказании определенных фактов на основании тех выводов, к которым приводят полученные результаты. Именно в этом заключается цель статистики в науках вообще, особенно в гуманитарных. В последних нет ничего абсолютно достоверного, и без статистики выводы в большинстве случаев были бы чисто интуитивными и не могли бы составлять солидную основу для интерпретации данных, полученных в других исследованиях. Если данные, полученные в эксперименте, качественного характера, то правильность делаемых на основе их выводов полностью зависит от интуиции, эрудиции и профессионализма исследователя, а также от логики его рассуждений. Если же эти данные количественного типа, то сначала проводят их первичную, а затем вторичную статистическую обработку. Первичная статистическая обработка заключается в определении необходимого числа элементарных математических статистик. Такая обработка почти всегда предполагает как минимум определение выборочного среднего значения. В тех случаях, когда информативным показателем для экспериментальной проверки предложенных гипотез является разброс данных относительного среднего, вычисляется дисперсия или квадратическое отклонение. Значение медианы рекомендуется вычислять тогда, когда предполагается использовать методы вторичной статистической обработки, рассчитанные на нормальное распределение, Для такого рода распределения выборочных данных медиана, а также мода совпадают или достаточно близки к средней величине. Этим критерием можно воспользоваться для того, чтобы приблизительно судить о характере полученного распределения первичных данных.

Вторичная статистическая обработка (сравнение средних, дисперсий, распределений данных, регрессионный анализ, корреляционный анализ, факторный анализ и др.) проводится в том случае, если для решения задач или доказательства предложенных гипотез необходимо определить статистические закономерности, скрытые в первичных экспериментальных данных. Приступая к вторичной статистической обработке, исследователь прежде всего должен решить, какие из различных вторичных статистик ему следует применить для обработки первичных экспериментальных данных. Решение принимается на основе учета характера проверяемой гипотезы и природы первичного материала, полученного в результате проведения эксперимента. Если экспериментальная гипотеза содержит предположение о том, что в результате проводимого психолого-педагогического исследования возрастут (или уменьшатся) показатели какого-либо качества, то для сравнения до - и постэкспериментальных данных рекомендуется использовать критерий Стъюдента или χ 2 -критерий. К последнему обращаются в том случае, если первичные экспериментальные данные относительны и выражены, например, в процентах.

Если экспериментально проверяемая гипотеза включает в себя утверждение о причинно-следственной зависимости между некоторыми переменными, то её целесообразно проверять, обращаясь к коэффициентам линейной или ранговой корреляции. Линейная корреляция используется в том случае, когда измерения независимой и зависимой переменных производятся при помощи интервальной шкалы, а изменения этих переменных до и после эксперимента небольшие. К ранговой корреляции обращаются тогда, когда достаточно оценить изменения, касающиеся порядка следования друг за другом по величине независимых и зависимых переменных, или когда их изменения достаточно велики, или когда измерительный инструмент был порядковым, а не интервальным.

Иногда гипотеза включает предположение о том, что в результате эксперимента возрастут или уменьшатся индивидуальные различия между испытуемыми. Такое предположение хорошо проверяется с помощью критерия Фишера, позволяющего сравнить дисперсии до и после эксперимента. Результаты количественного и качественного анализа материала, полученного в ходе проведения эксперимента, первичной и вторичной статистической обработки этого материала, используются для доказательства правильности предложенных гипотез. Выводы об их истинности являются логическим следствием доказательства, в процессе которого в качестве основного аргумента выступает безупречность логики самого доказательства, а в качестве фактов - то, что установлено в результате количественного и качественного анализа экспериментальных данных.

Факты в ходе доказательства обязательно должны соотноситься с гипотезами. В процессе такого соотнесения выясняется, насколько полно имеющиеся факты доказывают, подтверждают предложенные гипотезы.

В заключении хочется сказать, что психологу никогда не бывает скучно, потому что он всегда изучает и исследует – людей, ситуации, самого себя. Он постоянно ищет свой путь в выявлении новых закономерностей и фактов. Методы математической статистики могут оказать на этом пути неоценимую помощь, но они лишь средство. которое не должно заслонить собою цель. Необходимо помнить, что достоверная статистическая тенденция – это всё же не психологическая закономерность, что могут быть закономерности более высокого порядка, чем те что выявляются с помощью математических методов.

Если продолжить аналогию С.Стивенса с верёвочной лестницей, то мы используем верёвочную лестницу чтобы подняться наверх, хотя знаем, что и без неё можем летать. Главное чтобы из-за привязанности к верёвочной лестнице мы не утратили этой способности к полёту..

Математическая статистика - это раздел математики, изучающий приближенные методы сбора и анализа данных по результатам эксперимента для выявления существующих закономерностей, т.е. отыскания законов распределения случайных величин и их числовых характеристик.

В математической статистике принято выделять два основных направления исследований :

1. Оценка параметров генеральной совокупности.

2. Проверка статистических гипотез (некоторых априорных предположений).

Основными понятиями математической статистики являются: генеральная совокупность, выборка, теоретическая функция распределения.

Генеральной совокупностью является набор всех мыслимых статистических данных при наблюдениях случайной величины.

Х Г = {х 1 , х 2 , х 3 , …, х N , } = { х i ; i=1,N }

Наблюдаемая случайная величина Х называется признаком или фактором выборки. Генеральная совокупность - есть статистический аналог случайной величины, ее объем N обычно велик, поэтому из нее выбирается часть данных, называемая выборочной совокупностью или просто выборкой.

Х В = {х 1 , х 2 , х 3 , …, х n , } = { х i ; i=1,n }

Х В Ì Х Г, n £ N

Выборка - это совокупность случайно отобранных наблюдений (объектов) из генеральной совокупности для непосредственного изучения. Количество объектов в выборке называется объемом выборки и обозначается n. Обычно выборка составляет 5%-10% от генеральной совокупности.

Использование выборки для построения закономерностей, которым подчинена наблюдаемая случайная величина, позволяет избежать ее сплошного (массового) наблюдения, что часто бывает ресурсоемким процессом, а то и просто невозможным.

Например, популяция представляет собой множество индивидуумов. Изучение целой популяции трудоемко и дорого, поэтому собирают данные по выборке индивидуумов, которых считают представителями этой популяции, позволяющими сделать вывод относительно этой популяции.

Однако, выборка обязательно должна удовлетворять условию репрезентативности , т.е. давать обоснованное представление о генеральной совокупности. Как сформировать репрезентативную (представительную) выборку? В идеале стремятся получить случайную (рандомизированную) выборку. Для этого составляют список всех индивидуумов в популяции и случайно их отбирают. Но иной раз затраты при составлении списка могут оказаться недопустимыми и тогда берут приемлемую выборку, например, одну клинику, больницу и исследуют всех пациентов в этой клинике с данным заболеванием.

Каждый элемент выборки называется вариантой . Число повторений варианты в выборке называется частотой встречаемости . Величина называется относительной частотой варианты, т.е. находится как отношение абсолютной частоты варианты ко всему объему выборки. Последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке, называется вариационным рядом .

Рассмотрим три формы вариационного ряда: ранжированный, дискретный и интервальный.

Ранжированный ряд - это перечень отдельных единиц совокупности в порядке возрастания изучаемого признака.

Дискретный вариационный ряд представляет собой таблицу, состоящую из граф, либо строк: конкретного значения признака х i и абсолютной частоты n i (или относительной частоты ω i) проявления i-го значения признака x.

Примером вариационного ряда служит таблица

Написать распределение относительных частот.

Решение : Найдем относительные частоты. Для этого разделим частоты на объем выборки:

Распределение относительных частот имеет вид:

Контроль: 0,15 + 0,5 + 0,35 = 1.

Дискретный ряд можно изобразить графически. В прямоугольной декартовой системе координат отмечаются точки с координатами () или (), которые соединяются прямыми линиями. Такую ломаную называют полигоном частот.

Построить дискретный вариационный ряд (ДВР) и начертить полигон распределения 45 абитуриентов по числу баллов, полученных ими на приемных экзаменах:

39 41 40 42 41 40 42 44 40 43 42 41 43 39 42 41 42 39 41 37 43 41 38 43 42 41 40 41 38 44 40 39 41 40 42 40 41 42 40 43 38 39 41 41 42.

Решение : Для построения вариационного ряда различные значения признака x (варианты) располагаем в порядке их возрастания и под каждым из этих значений записываем его частоту.

Построим полигон этого распределения:

Рис. 13.1. Полигон частот

Интервальный вариационный ряд используется при большом числе наблюдений. Для построения такого ряда надо выбрать число интервалов признака и установить длину интервала. При большом числе групп величина интервала будет минимальна. Число групп в вариационном ряду можно найти по формуле Стерджеса : (k-число групп, n - объем выборки), а ширину интервала -

где - максимальное; - минимальное значения вариант, а их разность R носит название размаха вариации .

Исследуется выборка из 100 человек из совокупности всех студентов медицинского ВУЗа.

Решение : Рассчитаем число групп: . Таким образом, для составления интервального ряда данную выборку лучше разбить на 7 или 8 групп. Совокупность групп, на которые разбиваются результаты наблюдений и частот получения результатов наблюдений в каждой группе, называют статистической совокупностью .

Для наглядного представления статистического распределения пользуются гистограммой.

Гистограмма частот - это ступенчатая фигура, состоящая из смежных прямоугольников, построенных на одной прямой, основания которых одинаковы и равны ширине интервала, а высота равна или частоте попадания в интервал или относительной частоте ω i .

Наблюдения за числом частиц, попавших в счетчик Гейгера, в течение минуты дали следующие результаты:

21 30 39 31 42 34 36 30 28 30 33 24 31 40 31 33 31 27 31 45 31 34 27 30 48 30 28 30 33 46 43 30 33 28 31 27 31 36 51 34 31 36 34 37 28 30 39 31 42 37.

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I интервал 20-24; II интервал 24-28 и т.д.) и начертить гистограмму.

Решение : n = 50

Гистограмма этого распределения имеет вид:

Рис. 13.2. Гистограмма распределения

Варианты заданий

№ 13.1. Через каждый час измерялось напряжение тока в электросети. При этом были получены следующие значения (В):

227 219 215 230 232 223 220 222 218 219 222 221 227 226 226 209 211 215 218 220 216 220 220 221 225 224 212 217 219 220.

Построить статистическое распределение и начертить полигон.

№ 13.2. Наблюдения за сахаром крови у 50 человек дали такие результаты:

3.94 3.84 3.86 4.06 3.67 3.97 3.76 3.61 3.96 4.04

3.82 3.94 3.98 3.57 3.87 4.07 3.99 3.69 3.76 3.71

3.81 3.71 4.16 3.76 4.00 3.46 4.08 3.88 4.01 3.93

3.92 3.89 4.02 4.17 3.72 4.09 3.78 4.02 3.73 3.52

3.91 3.62 4.18 4.26 4.03 4.14 3.72 4.33 3.82 4.03

Построить по этим данным интервальный вариационный ряд с равными интервалами (I - 3.45-3.55; II - 3.55-3.65 и т. д.) и изобразить его графически, начертить гистограмму.

№ 13.3. Построить полигон частот распределения скорости оседания эритроцитов (СОЭ) у 100 человек.

* Данная работа не является научным трудом, не является выпускной квалификационной работой и представляет собой результат обработки, структурирования и форматирования собранной информации, предназначенной для использования в качестве источника материала при самостоятельной подготовки учебных работ.

Введение.

Использованная литература.

Методы математической статистики

Введение.

Основные понятия математической статистики.

Статистическая обработка результатов психолого-педагогических исследований.

Использованная литература.

Методы математической статистики

Введение.

Основные понятия математической статистики.

Статистическая обработка результатов психолого-педагогических исследований.

Использованная литература.

Введение.

Применение математики к другим наукам имеет смысл только в единении с глубокой теорией конкретного явления. Об этом важно помнить, чтобы не сбиваться на простую игру в формулы, за которой не стоит никакого реального содержания.

Академик Ю.А. Митропольский

Теоретические методы исследования в психологии и педагогике дают возможность раскрыть качественные характеристики изучаемых явлений. Эти характе­ристики будут полнее и глубже, если накопленный эмпирический ма­териал подвергнуть количественной обработке. Однако, проблема количественных измерений в рамках психолого-педагогических исследований очень сложна. Эта сложность заключается прежде всего в субъективно-причинном многообразии педагогической деятельности и ее результатов, в самом объекте измерения, находящимся в состоянии непрерывного движения и изменения. Вместе с тем введение в исследование количественных показателей сегодня является необходимым и обязательным компонентом получения объективных данных о результатах педагогического труда. Как правило, эти данные могут быть получены как путем прямого или опосредованного измерения различных составляющих педагогического процесса, так и посредством количественной оценки соответствующих параметров адекватно построенной его математической модели. С этой целью при исследо­вании проблем психологии и педагогики применяются методы математической статистики. С их помощью решаются различные задачи: обработка факти­ческого материала, получение новых, дополнительных данных, обоснование научной организации исследования и другие.

2. Основные понятия математической статистики

Исключительно важную роль в анализе многих психолого-педагогических явлений играют средние величины, представляющие собой обобщенную характеристи­ку качественно однородной совокупности по определенному количественно­му признаку. Нельзя, например, вычислить среднюю специальность или среднюю национальность студентов вуза, так как это качест­венно разнородные явления. Зато можно и нужно определить в среднем числовую характеристику их успеваемости (средний балл), эффек­тивности методических систем и приемов и т. д.

В психолого-педагогических исследованиях обычно применяются различные виды средних величин: средняя арифметическая, сред­няя геометрическая, медиана, мода и другие. Наиболее распространенными являются средняя арифметическая, медиана и мода.

Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда между определяю­щим свойством и данным признаком имеется прямо пропорциональная зави­симость (например, при улучшении показателей работы учебной группы улучшаются показатели работы каждого ее члена).

Средняя арифметическая представляет собой частное от деления сум­мы величин на их число и вычисляется по формуле:

где Х - средняя арифметическая; X1, X2, Х3 ... Хn - результаты отдельных наблюдений (приемов, действий),

n - количество наблюдений (приемов, действий),

Сумма результатов всех наблюдений (приемов, действий).

Медианой (Ме) называется мера среднего положения, характеризующая значение признака на упорядоченной (построенной по признаку возрастания или убывания) шкале, которое соответствует середине исследуемой совокупности. Медиана может быть определена для порядковых и количественных признаков. Место расположения этого значения определяется по формуле: Место медианы = (n + 1) / 2

Например. По результатам исследования установлено, что:

– на “отлично” учатся – 5 человек из участвующих в эксперименте;

– на “хорошо” учатся – 18 человек;

– на “удовлетворительно” – 22 человека;

– на “неудовлетворительно” – 6 человек.

Так как всего в эксперименте принимало участие N = 54 человека, то середина выборки равна человек. Отсюда делается вывод, что больше половины обучающихся учатся ниже оценки “хорошо”, то есть медиана больше “удовлетворительно”, но меньше “хорошо” (см. рисунок).

Мода (Мо) – наиболее часто встречающееся типичное значение признака среди других значений. Она соответствует классу с максимальной частотой. Этот класс называется модальным значением.

Например.

Если на вопрос анкеты: “укажите степень владения иностранным языком”, ответы распределились:

1 – владею свободно – 25

2 – владею в достаточной степени для общения – 54

3 – владею, но испытываю трудности при общении – 253

4 – понимаю с трудом – 173

5 – не владею – 28

Очевидно, что наиболее типичным значением здесь является – “владею, но испытываю трудности при общении”, которое и будет модальным. Таким образом, мода равна – 253.

Важное значение при использовании в психолого-педагогическом исследовании математических методов уделяется расчету дисперсии и среднеквадратических (стандартных) отклонений.

Дисперсия равна среднему квадрату отклонений значения варианты от среднего значения. Она выступает как одна из характеристик индивидуальных результатов разброса значений исследуемой переменной (например, оценок учащихся) вокруг среднего значения. Вычисление дисперсии осуществляется путем определения: отклонения от среднего значения; квадрата указанного отклонения; суммы квадратов отклонения и среднего значения квадрата отклонения (см. табл. 6.1).

Значение дисперсии используется в различных статистических расчетах, но не имеет непосредственного наблюдаемого характера. Величиной, непосредственно связанной с содержанием наблюдаемой переменной, является среднее квадратическое отклонение.

Таблица 6.1

Пример вычисления дисперсии

Среднее квадратичное отклонение подтверждает типичность и показательность средней арифметической, отражает меру колебания численных значений признаков, из которых выводится средняя величина. Оно равно корню квадратному из дисперсии и определяется по формуле:

где: – средняя квадратическая. При малом числе наблюдения (действий) – менее 100 – в значении формулы следует ставить не “N”, а “N – 1”.

Средняя арифметическая и средняя квадратическая являются основны­ми характеристиками полученных результатов в ходе исследования. Они позволяют обобщить данные, сравнить их, установить преимущества одной психолого-педагогической системы (программы) над другой.

Среднее квадратическое (стандартное) отклонение широко применяется как мера разброса для различных характеристик.

Оценивая результаты исследования важно определить рассеивание случайной величины около среднего значения. Это рассеивание описывается с помощью закона Гауса (закона нормального распределения вероятности случайной величины). Суть закона заключается в том, что при измерении некоторого признака в данной совокупности элементов всегда имеют место отклонения в обе стороны от нормы вследствие множества неконтролируемых причин, при этом, чем больше отклонения, тем реже они встречаются.

При дальнейшей обработке данных могут быть выявлены: коэффициент вариации (устойчивости) исследуемого явления, представляющий собой процентное отношение среднеквадратического отклонения к средней ариф­метической; мера косости , показывающая, в какую сторону направлено преимущественное число отклонений; мера крутости , которая показывает степень скопления значений случайной величины около среднего и др. Все эти статистические данные помогают более полно выявить признаки изучаемых явлений.

Меры связи между переменными. Связи (зависимости) между двумя и более переменными в статистике называют корреляцией. Она оценивается с помощью значения коэффициента корреляции, который является мерой степени и величины этой связи.

Коэффициентов корреляции много. Рассмотрим лишь часть из них, которые учитывают наличие линейной связи между переменными. Их выбор зависит от шкал измерения переменных, зависимость между которыми необходимо оценить. Наиболее часто в психологии и педагогике применяются коэффициенты Пирсона и Спирмена.

Рассмотрим вычисление значений коэффициентов корреляции на конкретных примерах.

Пример 1. Пусть две сравниваемые переменные X (семейное положение) и Y (исключение из университета) измеряются в дихотомической шкале (частный случай шкалы наименований). Для определения связи используем коэффициент Пирсона.

В тех случаях, когда нет необходимости подсчитывать частоту появления различных значений переменных X и Y, удобно проводить вычисления коэффициента корреляции с помощью таблицы сопряженности (см. табл. 6.2, 6.3, 6.4), показывающей количество совместных появлений пар значений по двум переменным (признакам). А – количество случаев, когда переменная X имеет значение равное нулю, и, одновременно переменная Y имеет значение равное единице; В – количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения, равные единице; С – количество случаев, когда переменные X и Y имеют одновременно значения равные нулю; D – количество случаев, когда переменная X имеет значение, равное единице, и, одновременно, переменная Y имеет значение, равное нулю.

Таблица 6.2

Общая таблица сопряженности

В общем виде формула коэффициента корреляции Пирсона для дихотомических данных имеет вид

Таблица 6.3

Пример данных в дихотомической шкале

Подставим в формулу данные из таблицы сопряженности (см. табл. 6.4), соответствующей рассматриваемому примеру:

Таким образом, коэффициент корреляции Пирсона для выбранного примера равен 0,32, то есть зависимость между семейным положением студентов и фактами исключения из университета незначительная.

Пример 2. Если обе переменные измеряются в шкалах порядка, то в качестве меры связи используется коэффициент ранговой корреляции Спирмена (Rs). Он вычисляется по формуле

где Rs – коэффициент ранговой корреляции Спирмена; Di – разность рангов сравниваемых объектов; N – количество сравниваемых объектов.

Значение коэффициента Спирмена изменяется в пределах от –1 да + 1. В первом случае между анализируемыми переменными существует однозначная, но противоположено направленная связь (с увеличением значений одной уменьшается значения другой). Во втором – с ростом значений одной переменной пропорционально возрастает значение второй переменной. Если величина Rs равна нулю или имеет значение, близкое к нему, то значимая связь между переменными отсутствует.

В качестве примера вычисления коэффициента Спирмена используем данные из таблицы 6.5.

Таблица 6.5

Данные и промежуточные результаты вычисления значения коэффициента

ранговой корреляции Rs

Подставим данные примера в формулу для коэффициента Смирмена:

Результаты вычисления позволяют утверждать о наличии достаточно выраженной связи между рассматриваемыми переменными.

Статистическая проверка научной гипотезы. Доказательство статистической достоверности экспериментального влияния существенно отличается от доказательства в математике и формальной логике, где выводы носят более универсальный характер: статистические доказательства не являются столь строгими и окончательными – в них всегда допускается риск ошибиться в выводах и потому статистическими методами не доказывается окончательно правомерность того или иного вывода, а показывается мера правдоподобности принятия той или иной гипотезы.

Педагогическая гипотеза (научное предположение о преимуществе того или иного метода и т. п.) в процессе статистического анализа переводится на язык статистической науки и заново формулируется, по меньшей мере, в виде двух статистических гипотез. Первая (основная) называется нулевой гипотезой (Н 0), в которой исследователь говорит о своей исходной позиции. Он (априори) как бы декларирует, что новый (предполагаемый им, его коллегами или оппонентами) метод не обладает какими-либо преимуществами, и потому с самого начала исследователь психологически готов занять честную научную позицию: различия между новым и старым методами объявляются равными нулю. В другой, альтернативной гипотезе (Н 1) делается предположение о преимуществе нового метода. Иногда выдвигается несколько альтернативных гипотез с соответствующими обозначениями.

Например, гипотеза о преимуществе старого метода (H 2). Альтернативные гипотезы принимаются тогда и только тогда, когда опровергается нулевая гипотеза. Это бывает в случаях, когда различия, скажем, в средних арифметических экспериментальной и контрольной групп настолько значимы (статистически достоверны), что риск ошибки отвергнуть нулевую гипотезу и принять альтернативную не превышает одного из трех принятых уровней значимости статистического вывода:

– первый уровень – 5% (в научных текстах пишут иногда р = 5% или а?0,05, если представлено в долях), где допускается риск ошибки в выводе в пяти случаях из ста теоретически возможных таких же экспериментов при строго случайном отборе испытуемых для каждого эксперимента;

– второй уровень – 1%, т. е. соответственно допускается риск ошибиться только в одном случае из ста (а?0,01, при тех же требованиях);

– третий уровень – 0,1%, т. е. допускается риск ошибиться только в одном случае из тысячи (а?0,001). Последний уровень значимости предъявляет очень высокие требования к обоснованию достоверности результатов эксперимента и потому редко используется.

При сравнении средних арифметических экспериментальной и контрольной групп важно не только определить, какая средняя больше, но и насколько больше. Чем меньше разница между ними, тем более приемлемой окажется нулевая гипотеза об отсутствии статистически значимых (достоверных) различий. В отличие от мышления на уровне обыденного сознания, склонного воспринимать полученную в результате опыта разность средних как факт и основание для вывода, педагог-исследователь, знакомый с логикой статистического вывода, не будет торопиться в таких случаях. Он скорее всего сделает предположение о случайности различий, выдвинет нулевую гипотезу об отсутствии достоверных различий в результатах экспериментальной и контрольной групп и лишь после опровержения нулевой гипотезы примет альтернативную.

Таким образом, вопрос о различиях в рамках научного мышления переводится в другую плоскость. Дело не только в различиях (они почти всегда есть), а в величине этих различий и отсюда – в определении той разницы и границы, после которого можно сказать: да, различия неслучайны, они статистически достоверны, а значит, испытуемые этих двух групп принадлежат после эксперимента уже не к одной (как раньше), а к двум различным генеральным совокупностям и что уровень подготовленности учащихся, потенциально принадлежащих этим совокупностям, будет существенно отличаться. Для того чтобы показать границы этих различий, используются так называемые оценки генеральных параметров .

Рассмотрим на конкретном примере (см. табл. 6.6), как с помощью математической статистики можно опровергнуть или подтвердить нулевую гипотезу.

Допустим, необходимо определить зависит ли эффективность групповой деятельности студентов от уровня развития в учебной группе межличностных отношений. В качестве нулевой гипотезы выдвигается предположение, что такой зависимости не существует, а в качестве альтернативной – зависимость существует. Для этих целей сравниваются результаты эффективности деятельности в двух группах, одна из которых в этом случае выступает в качестве экспериментальной, а вторая – контрольной. Чтобы определить, является ли разность между средними значениями показателей эффективности в первой и во второй группе существенной (значимой), необходимо вычислить статистическую достоверность этой разницы. Для этого можно использовать t – критерий Стьюдента. Он вычисляется по формуле:

где X 1 и X 2 – среднее арифметическое значение переменных в группах 1 и 2; М 1 и М 2 – величины средних ошибок, которые вычисляются по формуле:

где - средняя квадратическая, вычисляемая по формуле (2).

Определим ошибки для первого ряда (экспериментальная группа) и второго ряда (контрольная группа):

Находим значение t – критерия по формуле:

Вычислив величину t – критерия, требуется по специальной таблице определить уровень статистической значимости различий между средними показателями эффективности деятельности в экспериментальной и контрольной группах. Чем выше значение t – критерия, тем выше значимость различий.

Для этого t расчетное сравниваем с t табличным. Табличное значение выбирается с учетом выбранного уровня достоверности (p = 0,05 или p = 0,01), а также в зависимости от числа степеней свободы, которое находится по формуле:

где U – число степеней свободы; N 1 и N 2 – число замеров в первом и во втором рядах. В нашем примере U = 7 + 7 –2 = 12.

Таблица 6.6

Данные и промежуточные результаты вычисления значимости статистических

Различий средних значений

Для таблицы t – критерия находим, что значение t табл. = 3,055 для однопроцентного уровня (p

Однако педагогу-исследователю следует помнить, что существование статистической значимости разности средних значений является важным, но не единственным аргументом в пользу наличия или отсутствия связи (зависимости) между явлениями или переменными. Поэтому необходимо привлекать и другие аргументы количественного или содержательного обоснования возможной связи.

Многомерные методы анализа данных. Анализ взаимосвязи между большим количеством переменных осуществляется путем использования многомерных методов статистической обработки. Цель применения подобных методов – сделать наглядными скрытые закономерности, выделить наиболее существенные взаимосвязи между переменными. Примерами таких многомерных статистических методов являются:

– факторный анализ;

– кластерный анализ;

– дисперсионный анализ;

– регрессионный анализ;

– латентно-структурный анализ;

– многомерное шкалирование и другие.

Факторный анализ заключается в выявлении и интерпретации факторов. Фактор – обобщенная переменная, которая позволяет свернуть часть информации, т. е. представить ее в удобообозримом виде. Например, факторная теория личности выделяет ряд обобщенных характеристик поведения, которые в данном случае называются чертами личности.

Кластерный анализ позволяет выделить ведущий признак и иерархию взаимосвязей признаков.

Дисперсионный анализ – статистический метод, используемый для изучения одной или нескольких одновременно действующих и независимых переменных на изменчивость наблюдаемого признака. Его особенность состоит в том, что наблюдаемый признак может быть только количественным, в тоже время объясняющие признаки могут быть как количественными, так и качественными.

Регрессионный анализ позволяет выявить количественную (численную) зависимость среднего значения изменений результативного признака (объясняемой) от изменений одного или нескольких признаков (объясняющих переменных). Как правило данный вид анализа применяется тогда, когда требуется выяснить насколько изменяется средняя величина одного признака при изменении на единицу другого признака.

Латентно-структурный анализ представляет совокупность аналитико-статистических процедур выявления скрытых переменных (признаков), а также внутренней структуры связей между ними. Он дает возможность исследовать проявления сложных взаимосвязей непосредственно ненаблюдаемых характеристик социально-психологических и педагогических явлений. Латентный анализ может являться основой для моделирования указанных взаимосвязей.

Многомерное шкалирование обеспечивает наглядную оценку сходства или различия между некоторыми объектами, описываемыми большим количеством разнообразных переменных. Эти различия представляются в виде расстояния между оцениваемыми объектами в многомерном пространстве.

3. Статистическая обработка результатов психолого-педагогических

исследований

В любом исследовании всегда важно обеспечить массовость и предста­вительность (репрезентативность) объектов изучения. Для решения этого вопроса обычно прибегают к математическим методам расчета минимальной величины подлежащих исследованию объектов (групп респондентов), чтобы на этом основании можно было сделать объ­ективные выводы.

По степени полноты охвата первичных единиц статистика делит исс­ледования на сплошные, когда изучаются все единицы изучаемого явления, и выборочные, если изучению подвергается только часть интересующей со­вокупности, взятая по какому-либо признаку. Исследователю не всегда представляется возможность изучить всю совокупность явлений, хотя к этому постоянно следует стремиться (не хватает времени, средств, необ­ходимых условий и т. д.); с другой стороны, часто сплошное исследование просто не требуется, так как выводы будут достаточно точными после изучения определенной части первичных единиц.

Теоретической основой выборочного способа исследования является теория вероятностей и закон больших чисел. Чтобы исследование распола­гало достаточным количеством фактов, наблюдений, используют таблицу достаточно больших чисел. От исследователя в данном случае требуется установление величины вероятности и величины допускаемой ошибки. Пусть, например, допускаемая ошибка в выводах, которые должны быть сделаны в результате наблюдений, по сравнению с теоретическими предпо­ложениями, не должна превышать 0,05 как в положительную, так и в отри­цательную стороны (иначе говоря, мы можем ошибиться не более чем в 5 случаев из 100). Тогда по таблице достаточно больших чисел (см. табл. 6.7) находим, что правильное заключение может быть высказано в 9 случа­ев из 10 тогда, когда число наблюдений будет не менее 270, в 99 случа­ев из 100 при наличии не менее 663 наблюдений и т. д. Значит, с увели­чением точности и вероятности, с которой мы предполагаем сделать выво­ды, число требуемых наблюдений возрастает. Однако в психолого-педагогическом исследовании оно не должно быть чрезмерно большим. 300–500 наблюдений часто является вполне достаточным для основательных выводов.

Данный способ определения величины выборки является наиболее простым. Математическая статистика располагает и более сложными мето­дами вычисления требуемых выборочных совокупностей, которые подробно освещены в специальной литературе.

Однако соблюдение требований массовости еще не обеспечивает на­дежности выводов. Они будут достоверны тогда, когда выбранные для наб­людения (бесед, эксперимента и т. д.) единицы являются достаточно представительными для изучаемого класса явлений.

Таблица 6.7

Краткая таблица достаточно больших чисел

Репрезентативность единиц наблюдения обеспечивается прежде всего их случайным выбором с помощью таблиц случайных чисел. Положим, требу­ется определить 20 учебных групп для проведения массового эксперимента из имеющихся 200. Для этого составляется список всех групп, который нумеруется. Затем из таблицы случайных чисел выписывается 20 номеров, начиная с какого-либо числа, через определенный интервал. Эти 20 случайных чисел по соблюдению номеров определяют те группы, которые нужны исследователю. Случайный выбор объектов из общей (гене­ральной) совокупности дает основание утверждать, что полученные при исследовании выборочной совокупности единиц результаты не будут резко отличаться от тех, которые имелись бы в случае исследования всей сово­купности единиц.

В практике психолого-педагогических исследований применяются не только простые случайные отборы, но и более сложные методы отбора: расслоенный случайный отбор, многоступенчатый отбор и др.

Математические и статистические методы исследования являются так­же средствами получения нового фактического материала. С этой целью используются приемы шаблонирования, повышающие информативную емкость анкетного вопроса и шкалирования, дающего возможность более точно оце­нивать действия как исследователя, так и исследуемых.

Шкалы возникли из-за необходимости объективно и точно диагности­ровать и измерять интенсивность определенных психолого-педагогических явлений. Шкалирование дает возможность упорядочить явления, количественно оце­нить каждое из них, определить низшую и высшую ступени исследуемого явления.

Так при исследовании познавательных интересов слушателей можно установить их границы: очень большой интерес – очень слабый интерес. Между этими границами ввести ряд ступеней, создающих шкалу познаватель­ных интересов: очень большой интерес (1); большой интерес (2); средний (3); слабый (4); очень слабый (5).

В психолого-педагогических исследованиях используются шкалы разных видов, например,

а) Трехмерная шкала

Очень активный……..…………..10

Активный…………………………5

Пассивный…...…………………...0

б) Многомерная шкала

Очень активный…………………..8

Среднеактивный………………….6

Не слишком активный…………...4

Пассивный………………………..2

Полностью пассивный…………...0

в) Двусторонняя шкала.

Очень интересуется……………..10

Достаточно интересуется………...5

Равнодушен……………………….0

Не интересуется…………………..5

Совершенно нет интереса………10

Числовые оценочные шкалы дают каждому пункту определенное число­вое обозначение. Так, при анализе отношения студентов к учебе, их настойчивости в работе, готовности к сотрудничеству и т.п. можно сос­тавить числовую шкалу на основе таких показателей: 1 – неудовлетвори­тельно; 2 – слабо; 3 – средне; 4 – выше среднего, 5 – намного выше среднего. В таком случае шкала приобретает следующий вид (см. табл. 6.8):

Таблица 6.8

Если числовая шкала биполярна, используется биполярная упорядо­ченность с нулевой величиной в центре:

Дисциплинированность Недисциплинированность

Ярко выраженная 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 Не ярко выраженная

Оценочные шкалы могут быть изображены графически. В этом случае они выражают категории в наглядной форме. При этом каждое деление (ступень) шкалы характеризуется вербально.

Рассматриваемые методы играют большую роль в анализе и обобще­нии полученных данных. Они позволяют установить различные соотношения, корреляции между фактами, выявить тенденции в развитии психолого-педагогических явлений. Так, теория группировок математической статистики помогает определить, какие факты из собранного эмпирического материала сопоста­вимы, по какому основанию их правильно сгруппировать, какой степени достоверности они будут. Все это позволяет избежать произвольных мани­пуляций с фактами и определить программу их обработки. В зависимости от целей и задач обычно применяют три вида группировок: типологичес­кую, вариационную и аналитическую.

Типологическая группировка используется, когда необходимо разбить полученный фактический материал на качественно однородные единицы (распределение количества нарушений дисциплины между различными категориями студентов, разбивка показателей выполнения ими физических упражнений по годам учебы и т.п.).

В случае необходимости сгруппировать материал по величине како­го-либо изменяющегося (варьирующего) признака – разбивка групп обучающихся по уровню успеваемости, по процентам выполнения заданий, однотип­ным нарушениям установленного порядка и т.п. – применяется вариацион­ная группировка , дающая возможность последовательно судить о структуре изучаемого явления.

Аналитический вид группировки помогает устанавливать взаимосвязь между изучаемыми явлениями (зависимость степени подготовки студентов от различных методов обучения, качества выполняемых заданий от темпе­рамента, способностей и т.д.), их взаимозависимость и вза­имообусловленность в точном исчислении.

Насколько важна работа исследователя по группировке собранных данных, свидетельствует тот факт, что ошибки в этой работе обесценива­ют самую исчерпывающую и содержательную информацию.

В настоящее время математические основы группировки, типоло­гии, классификации получили наиболее глубокое развитие в социологии. Современные подходы и методы типологии и классификации в социологичес­ких исследованиях могут быть с успехом применены в психологии и педагогике.

В ходе исследования используются приемы итогового обобщения дан­ных. Одним из них является прием составления и изучения таблиц.

При составлении сводки данных относительно одной статистической величины образуется ряд распределения (вариационный ряд) значения этой величины. Примером такого ряда (см. табл. 6.9) может служить сводка данных относительно окружности груди 500 лиц.

Таблица 6.9

Сводка данных одновременно по двум и более статистическим величи­нам предполагает составление таблицы распределения, раскрывающей расп­ределение значений одной статической величины в соответствии со значе­ниями, которые принимают другие величины.

В качестве иллюстрации при­водится таблица 6.10, составленная на основании статистических данных от­носительно окружности груди и веса этих людей.

Таблица 6.10

Таблица распределения дает представление о соотношении и связи, существующих между двумя величинами, а именно: при малом весе частоты располагаются в верхней левой четверти таблицы, что указывает на пре­обладание лиц с малой окружностью груди. По мере увеличения веса до среднего значения распределение частот передвигается в центр таблички. Это указывает, что люди, вес которых ближе к среднему, имеют окруж­ность груди, также близкую к среднему значению. При дальнейшем увели­чении веса частоты начинают занимать правую нижнюю четверть таблички. Это свидетельствует о том, что у человека с весом более среднего ок­ружность груди также выше среднего объема.

Из таблицы следует, что установленная связь не строгая (функцио­нальная), а вероятностная, когда с изменениями значений одной величины другая изменяется как тенденция, без жесткой однозначной зависимости. Подобные связи и зависимости часто встречаются в психологии и педагогике. В настоя­щее время они выражаются обычно с помощью корреляционного и регрессивного анализа.

Вариационные ряды и таблицы дают представление о статике явления, динамику же могут показать ряды развития, где первая строка содержит последовательные этапы или промежутки времени, а вторая – полученные на этих этапах значения изучаемой статистической величины. Так выявля­ются возрастание, убывание или периодические изменения изучаемого яв­ления, вскрываются его тенденции, закономерности.

Таблицы могут заполняться абсолютными величинами, или сводными цифрами (средними, относительными). Результаты статистической работы – помимо таблиц часто изображаются графически в виде диаграмм, фигур и т. д. Основными способами графического изображения статистических вели­чин являются: способ точек, способ прямых и способ прямоугольников. Они просты и доступны каждому исследователю. Техника их использования – проведение осей координат, установление масштаба, и выписка обозна­чения отрезков (точек) на горизонтальных и вертикальной осях.

Диаграммы, изображающие ряды распределения значений одной статис­тической величины, позволяют составить кривые распределения.

Графическое изображение двух (и более) статистических величин да­ет возможность образовать некоторую кривую поверхность, называемую по­верхностью распределения. Ряд развития при графическом исполнении об­разуют кривые развития.

Графическое изображение статистического материала позволяет глуб­же проникнуть в смысл цифровых величин, уловить их взаимозависимости и черты изучаемого явления, которые трудно заметить в таблице. Исследо­ватель освобождается от той работы, которую он вынужден был бы проде­лать, чтобы разобраться с обилием цифр.

Таблицы и графики – важные, но только первые шаги в исследовании статистических величин. Основным же методом является аналитический, оперирующий математическими формулами, с помощью которых выводятся так называемые “обобщающие показатели”, то есть абсолютные величины, при­веденные в сравнимый вид (относительные и средние величины, балансы и индексы). Так, с помощью относительных величин (процентов) определяют­ся качественные особенности анализируемых совокупностей (например, отношение отличников к общему числу студентов; числа ошибок при работе на сложной аппаратуре, вызванных психической неус­тойчивостью обучающихся, к общему числу ошибок и т.п.). То есть выявля­ются отношения: части к целому (удельный вес), слагаемых к сумме (структура совокупности), одной части совокупности к другой ее части; характеризующие динамику каких-либо изменений во времени и др.

Как видно, даже самое общее представление о методах статистичес­кого исчисления говорит о том, что эти методы располагают большими возможностями в анализе и обработке эмпирического материала. Разумеет­ся, математический аппарат может бесстрастно обработать все, что в не­го вложит исследователь и достоверные данные, и субъективные домыслы. Вот почему совершенное владение математическим аппаратом обработки на­копленного эмпирического материала в единстве с доскональным знанием качественных характеристик исследуемого явления является необходимым для каждого исследователя. Только в этом случае возможен отбор качест­венного, объективного фактического материала, его квалифицированная об­работка и получение достоверных итоговых данных.

Такова краткая характеристика наиболее часто применяемых методов исследования проблем психологии и педагогики. Следует подчеркнуть, что ни один из рассмотренных методов, взятый сам по себе, не может претендовать на универсальность, на полную гарантию объективности получаемых данных. Так, элементы субъективизма в ответах, полученных путем опроса респондентов, очевидны. Результаты наблюдений, как правило, не свободны от субъективных оценок самого исследователя. Данные, взятые из различной документации, требуют одновременно проверки достоверности этой доку­ментации (особенно личных документов, документов из “вторых рук” и т.д.).

Поэтому каждому исследователю следует стремиться, с одной сторо­ны, к совершенствованию техники применения любого конкретного метода, а с другой – к комплексному, взаимоконтролирующему использованию раз­ных методов для изучения одной и той же проблемы. Владение всей систе­мой методов дает возможность разработать рациональную методику иссле­дования, четко организовать и провести его, получить существенные тео­ретические и практические результаты.

Использованная литература.

Шевандрин Н.И. Социальная психология в образовании: Учебное пособие. Ч.1. Концептуальные и прикладные основы социальной психологии. – М.: ВЛАДОС, 1995.

2. Давыдов В.П. Основы методологии, методики и технологии педагогического исследования: Научно-методическое пособие. – М.: Академия ФСБ, 1997.

Данным, полученным в результате эксперимента, свойственна изменчивость, которая может быть вызвана случайной ошибкой: погрешностью измерительного прибора, неоднородностью образцов и т.д. После проведения большого количества однородных данных экспериментатору необходимо их обработать для извлечения как можно более точной информации о рассматриваемой величине. Для обработки больших массивов данных измерений, наблюдений и т.п., которые могут быть получены при проведении эксперимента, удобно применять методы математической статистики .

Математическая статистика неразрывно связана с теорией вероятностей, но между этими науками есть существенное различие. Теория вероятностей использует уже известные распределения случайных величин , на основе которых рассчитываются вероятности событий, математическое ожидание т.д. Задача математической статистики – получить как можно более достоверную информацию о распределении случайной величины на основе экспериментальных данных.

Типичные направления математической статистики:

• теория выборок;
• теория оценок;
• проверка статистических гипотез;
• регрессионный анализ;
• дисперсионный анализ.

Методы математической статистики

Методы оценки и проверки гипотез основываются на вероятностных и гиперслучайных моделях происхождения данных.

Математическая статистика оценивает параметры и функции от них, которые представляют важные характеристики распределений (медиану, математическое ожидание, стандартное отклонение, квантили и др.), плотности и функции распределения и пр. Используются точечные и интервальные оценки.

Современная математическая статистика содержит большой раздел – статистический последовательный анализ , в котором допускается формирование массива наблюдений по одному массиву.

Математическая статистика также содержит общую теорию проверки гипотез и большое количество методов для проверки конкретных гипотез (например, о симметрии распределения, о значениях параметров и характеристик, о согласии эмпирической функции распределения с заданной функцией распределения, гипотеза проверки однородности (совпадение характеристик или функций распределения в двух выборках) и др.).

Проведением выборочных обследований , связанных с построением адекватных методов оценки и проверки гипотез, со свойствами разных схем организации выборок, занимается раздел математической статистики, имеющий большое значение. Методы математической статистики непосредственно использует следующие основные понятия.

Выборка

Определение 1

Выборкой называются данные, которые получены при проведении эксперимента.

Например, результаты дальности полета пули при выстреле одного и того же или группы однотипных орудий.

Эмпирическая функция распределения

Замечание 1

Функция распределения дает возможность выразить все важнейшие характеристики случайной величины.

В математической стаитистике существует понятие теоретической (заранее не известной) и эмпирической функции распределения.

Эмпирическая функция определяется по данным опыта (эмпирические данные), т.е. по выборке.

Гистограмма

Гистограммы используются для наглядного, но довольно приближенного, представления о неизвестном распределении.

Гистограмма представляет собой графическое изображение распределения данных.

Для получения качественной гистограммы придерживаются следующих правил :

• Количество элементов выборки должно быть существенно меньше объема выборки.
• Интервалы разбиения должны содержать достаточное число элементов выборки.

Если выборка очень большая зачастую интервал элементов выборки разбивают на одинаковые части.

Выборочное среднее и выборочная дисперсия

С помощью данных понятий можно получить оценку необходимых числовых характеристик неизвестного распределения, не прибегая к построению функции распределения, гистограммы и т.п.

47. Математическая статистика ее методы. Основные этапы статистической работы.

Математическая статистика - это научная дисциплина, предметом изучения которой является разработка методов регистрации, описания и анализа статистических экспериментальных данных, полученных в результате наблюдений массовых случайных явлений.

Основными задачами математической статистики являются:

определение закона распределения случайной величины или системы случайных величин;

проверка правдоподобия гипотез;

определение неизвестных параметров распределения.

Все методы математической статистики основаны на теории вероятностей. Однако в силу специфичности решаемых задач математическая статистика выделяется из теории вероятностей в самостоятельную область. Если в теории вероятностей считается заданной модель явления и производится расчет возможного реального течения этого явления (рис.1), то в математической статистике подбирается подходящая теоретико-вероятностная модель, исходя из статистических данных (рис.2).

Рис.1. Общая задача теории вероятностей

Рис.2. Общая задача математической статистики

Как научная дисциплина математическая статистика развивалась вместе с теорией вероятностей. Математический аппарат этой науки построен во второй половине XIX века.

Основные этапы статистической работы.

Любое статистическое исследование в себя 3 основных этапа:

сбор – это массовое научно-организованное наблюдение, посредством которого получают первичную информацию об отдельных фактах (единицах) изучаемого явления. Данный статистический учет большого числа или всех входящих в состав изучаемого явления единиц является информационной базой для статистических обобщений, для формулирования выводов об изучаемом явлении или процессе;

группировка и сводка. Под этими данными понимают распределение множества фактов (единиц) на однородные группы и подгруппы, итоговый подсчет по каждой группе и подгруппе и оформление полученных итогов в виде статистической таблицы;

обработка и анализ. Статистический анализ заключает стадию статистического исследования. Он содержит в себе обработку статистических данных, которые были получены при сводке, интерпретацию полученных результатов с целью получения объективных выводов о состоянии изучаемого явления и о закономерностях его развития.

48. Генеральная совокупность и выборка. Способы формирования выборки

Генеральная совокупность (в англ. - population) - совокупность всех объектов (единиц), относительно которых учёный намерен делать выводы при изучении конкретной проблемы.

Генеральная совокупность состоит из всех объектов, которые подлежат изучению. Состав генеральной совокупности зависит от целей исследования. Иногда генеральная совокупность - это все население определённого региона (например, когда изучается отношение потенциальных избирателей к кандидату), чаще всего задаётся несколько критериев, определяющих объект исследования. Например, мужчины 30-50 лет, использующие бритву определённой марки не реже раза в неделю, и имеющие доход не ниже $100 на одного члена семьи.

Выборка или выборочная совокупность - множество случаев (испытуемых, объектов, событий, образцов), с помощью определённой процедуры выбранных из генеральной совокупности для участия в исследовании.

Характеристики выборки:

Качественная характеристика выборки – кого именно мы выбираем и какие способы построения выборки мы для этого используем

Количественная характеристика выборки – сколько случаев выбираем, другими словами объём выборки.

Необходимость выборки

Объект исследования очень обширный. Например, потребители продукции глобальной компании – огромное количество территориально разбросанных рынков.

Существует необходимость в сборе первичной информации.

Объём выборки

Объём выборки - число случаев, включённых в выборочную совокупность. Из статистических соображений рекомендуется, чтобы число случаев составляло не менее 30 – 35.

Основные способы формирования выборки

Формирование выборки прежде всего основывается на знании контура выборки, под которым понимается список всех единиц совокупности, из которого выбираются единицы выборки. Например, если в качестве совокупности рассматривать все автосервисные мастерские города Москвы, то надо иметь список таких мастерских, рассматриваемый как контур, в пределах которого формируется выборка.

Контур выборки неизбежно содержит ошибку, называемую ошибкой контура выборки и характеризующую степень отклонения от истинных размеров совокупности. Очевидно, что не существует полно официального списка всех автосервисных мастерских г. Москвы. Исследователь должен информировать заказчика работы о размерах ошибки контура выборки.

При формировании выборки используются вероятностные (случайные) и невероятностные (неслучайные) методы.

Если все единицы выборки имеют известный шанс (вероятность) быть включенными в выборку, то выборка называется вероятностной. Если эта вероятность неизвестна, то выборка называется невероятностной. К сожалению, в большинстве маркетинговых исследований из-за невозможности точного определения размера совокупности не представляется возможным точно рассчитать вероятности. Поэтому термин «известная вероятность» скорее основан на использовании определенных методов формирования выборки, чем на знании точных размеров совокупности.

Вероятностные методы включают в себя:

простой случайный отбор;

систематический отбор;

кластерный отбор;

стратифицированный отбор.

Невероятностные методы:

отбор на основе принципа удобства;

отбор на основе суждений;

формирование выборки в процессе опроса;

формирование выборки на основе квот.

Смысл метода отбора на основе принципа удобства заключается в том, что формирование выборки осуществляется самым удобным с позиций исследователя образом, например с позиций минимальных затрат времени и усилий, с позиций доступности респондентов. Выбор места исследования и состава выборки производится субъективным образом, например, опрос покупателей осуществляется в магазине, ближайшем к месту жительства исследователя. Очевидно, что многие представители совокупности не принимают участия в опросе.

Формирование выборки на основе суждения основано на использовании мнения квалифицированных специалистов, экспертов относительно состава выборки. На основе такого подхода часто формируется состав фокус-группы.

Формирование выборки в процессе опроса основано на расширении числа опрашиваемых исходя из предложений респондентов, которые уже приняли участие в обследовании. Первоначально исследователь формирует выборку намного меньшую, чем требуется для исследования, затем она по мере проведения расширяется.

Формирование выборки на основе квот (квотный отбор) предполагает предварительное, исходя из целей исследования, определение численности групп респондентов, отвечающих определенным требованиям (признакам). Например, в целях исследования было принято решение, что в универмаге должно быть опрошено пятьдесят мужчин и пятьдесят женщин. Интервьюер проводит опрос, пока не выберет установленную квоту.

Главная » Общение с девушкой » Методы математической статистики. Основные понятия математической статистики К методам математической статистики не относится