Элементы логики предикатов. Кванторы. Кванторы общности и существования Формулы логики предикатов

Оператор, с помощью которого о к.-л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов.
В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами К. общности являются слова «все», «любой», «каждый»; смысловыми аналогами К. существования - слова «некоторые», «существует». С помощью данных К. любое атрибутивное высказывание вида Р(х) о том, что объекту х присуще Р, может быть преобразовано в соответствующее кванторное высказывание вида VхР(х) и вида ЗхР(х). Содержательно сама кванторная формула «VxP(x)» читается как «для всех х имеет Р(х)», а формула «ЭхР(х)» - как «для некоторых х имеет место Р(х)». Высказывание вида VxP(x) истинно, если любой х обладает свойством Р; и ложно, если хотя бы один х не обладает свойством Р. Аналогичным образом, высказывание вида ЗхР(х) истинно, если хотя бы один х обладает свойством Р; и ложно, если ни один х не обладает свойством Р.
На основе элементарных кванторных формул «VxP(x)», «ЭхР(х)» могут быть построены др., более сложные кванторные формулы. Логические взаимосвязи между такими формулами изучаются в логике предикатов. В частности, формула «ЗхР(х)» логически эквивалентна формуле «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» эквивалентна формуле «) Эх) Р(х)», где «)» - отрицания.
В неявной форме К. использовались уже Аристотелем, однако в строгом содержательном и формальном смысле они впервые были введены в логику Г. Фреге.

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

(от лат. quantum - сколько) , оператор логики предикатов, применение крого к формулам, содержащим лишь одну свободную переменную, даёт (высказывание) . Различают К. общности, обозначаемый символом (от англ. all - все) , и К. существования (от exist - существовать) : хР(х) интерпретируется (см. Интерпретация) как «для всех х имеет место свойство Р», а хР(х) - как «существует х такой, что имеет место свойство?(х) ». Если (универсум) конечна, то хР(х) равносильно конъюнкции всех формул Р(а) , где а - элемент предметной области. Аналогично, хР(х) равносильно дизъюнкции всех формул вида? (а) . Если же предметная область бесконечна, то xP(x) и хР(х) могут быть истолкованы соответственно как бесконечные и дизъюнкция. Введение К. в логике многоместных предикатов (т. е. неодноместных) обусловливает неразрешимость исчисления предикатов. Различные соотношения между К. общности и существования и логическими связками логики высказываний формализуются в исчислении предикатов.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

(от лат. quantum - сколько) - логич. оператор, применяемый к логич. выражениям и дающий количеств. характеристику области предметов (а иногда и области предикатов), к к-рой относится получаемое в результате применения К. . В то как логич. средств логики высказываний недостаточно для выражения форм всеобщих, частных и единичных суждений, в логике предикатов, получаемой посредством расширения логики высказываний за счет введения К., такие суждения выразимы. Так, напр., четыре осн. формы суждений традиц. логики "Все А суть В", "Ни одно А не есть В", "Нек-рые А суть В" и "Нек-рые А не суть В" могут быть записаны (если отвлечься от предполагаемого аристотелевой логикой требования непустоты А в общих суждениях) при помощи поясняемой ниже символики следующим образом: ∀(х) (А (х) ⊃ В (х)), ∀(х) (А (х) ⊃ В(x)), ∃(х) (А (х) & В (х)) и ∃ (х) (А (х) & B (x)). Введение К. дает записывать на формализованном логич. языке выражения естеств. языка, содержащие количест. характеристики к.-л. предметных или предикатных областей. В естеств. языках носителями таких характеристик являются т. н. кванторные слова, к числу к-рых относятся, в частности, количеств. числительные, местоимения "все", "каждый", "нек-рый", глагол "существует", прилагательные "любой", "всякий", "единственный", наречия "бесконечно много" и т.п. Оказывается, что для выражения всех упомянутых кванторных слов в формализ. языках и логич. исчислениях достаточно двух наиболее употребит. К.: К. общности (или в с е о б щ н о с т и), обозначаемого обычно символом ∀(перевернутая буква А – начальная буква англ. слова "all", нем. "alle" и др.), и К. с у щ е с т в о в а н и я, обозначаемого обычно символом ∃ (перевернутая буква E – начальная буква англ. слова "exist", нем. "existieren" и др.); за знаками ∀ и ∃ в обозначении К. следует буква нек-рого алфавита, называемая кванторной переменной, к-рую рассматривают обычно как часть обозначения К.: ∀х, ∀у, ∀F, ∃х, ∃α и т.п. Для К. общности употребляют также обозначения:

для К. существования:

Знак К. ставится перед выражением, к к-рому применяется К. (операцию применения К. часто называют квантификацией); это выражение заключается в скобки (к-рые часто опускают, если это не приводит к двусмысленности). Содержащее К. общности выражение ∀x (А (х)) читается как "Для всех x верно, что А (х)", или "Для каждого x верно А (х)"; содержащее К. существования выражение ∃х (А(х)) читается как "Существует x такой, что А (х)", или "Для нек-рого x верно А(х)". В обоих этих случаях не предполагается, вообще говоря, что выражение A (х) в действительности зависит от переменной x ( может и вообще не содержать никаких переменных, т.е. может обозначать нек-рое высказывание; в этом случае не меняет смысла этого высказывания). Однако осн. назначение К. - высказываний из выражения, зависящего от кванторной переменной, или хотя бы уменьшение числа переменных, от к-рых это выражение, будучи незамкнутой (открытой) формулой (см. Замкнутая формула), зависит. Напр., выражение (y>0&z>0&x=у-z) содержит три переменные (х, y и z) и становится высказыванием (истинным или ложным) при к.-л. опред. замещении этих переменных именами нек-рых предметов из области их значений. Выражение ∃ z(y>0&z>0&x = y-z) зависит уже лишь от двух переменных (х и у), a ∃y∃z (y>0&z>0& &х = у –z) - от одной х. Последняя формула выражает, т.о., нек-рое свойство (одноместный ). Наконец, формула ∃х∃у∃z (y>0&z>0&x=y–z) выражает вполне опред. высказывание.

Др. примеры формул, содержащих К.: 1) ∀х(х>0); 2) ∃х(х>0); 3) ∀х (2+2=5); 4) ∃x (2+2=4); 5) ∀х (х = х)& (х+2=у); 6) ∀х∃у (∀z (x = z⊃x ≠ 0) & (x действие к.-л. К., наз. областью действия этого К. Так, в формуле 6) областями действия К. ∀х и ∃y являются стоящие справа от них части формулы, а область действия К. ∀z - формула (x = z⊃x ≠ 0). Вхождение к.-л. переменной в знак К. или в область действия К., содержащего эту переменную, наз. связанным вхождением переменной в формулу. В остальных случаях вхождение переменной наз. с в о б о д н ы м. Одна и та же может входить в к.-л. формулу в одном месте в связанном виде, а в др. месте – в свободном. Такова, напр., формула 5): первые три (считая слева) вхождения в нее переменной x – связанные, последнее же – свободное. Иногда говорят, что переменная связана в данной формуле, если все ее вхождения в эту формулу – связанные. В математике и логике всякое выражение, содержащее свободную переменную, может рассматриваться (при неформальном подходе) как ее в том обычном смысле этого слова, что оно (выражение) зависит от различных значений этой переменной; придавая этой переменной различные значения (т. е. замещая все ее свободные вхождения именем к.-л. предмета, принадлежащего к области значений этой переменной), мы получаем различные (вообще говоря) значения данного выражения, зависящие от значения переменной, т.е. от подставленной вместо нее константы. Что же касается связанных переменных, то заключающие их выражения в действительности от них не зависят. Напр., выражение ∃х(х = 2у), зависящее от у (входящего в него свободно), эквивалентно выражениям ∃z(z = 2y), ∃u(u = 2у) и т.п. Эта логич. выражений от входящих в них связанных переменных находит в т. н. правиле переименования с в я з а н н ы х п е р е м е н н ы х, постулируемом или выводимом в разл. логич. исчислениях (см. Переменная , Предикатов исчисление).

Изложенное выше истолкование смысла К. относилось к с о д е р ж а т е л ь н ы м логич. теориям. Что же касается исчислений в собств. смысле (т.н. формальных систем), то в них вообще не имеет смысла говорить о "значении" того или иного К., являющегося здесь просто нек-рым символом исчисления. Вопрос о значении (смысле) К. относится целиком к области интерпретации исчисления. В применении к К. можно говорить по крайней мере о трех интерпретациях: классической, интуиционистской и конструктивной, соответствующих различным концепциям существования и всеобщности в логике и математике (см. Интуиционизм , Конструктивная логика). Как в классич., так и в интуиционистском (конструктивном) исчислении предикатов способы вывода в случаях, когда исходные или доказываемые формулы содержат К., описываются одними и теми же т. н. постулатами квантификации, напр. постулатами Бернайса.

К. общности и существования не исчерпываются употребительные в логике виды К. Обширный К. представляют собой т. н. ограниченные К. вида ∀хP(x)А(х) или ∃xQ(x)A(x), в к-рых область изменения кванторной переменной x "ограничена" нек-рым спец. предикатом Р(х) (или Q(x)). Ограниченные К. сводятся к К. общности и существования при помощи след. эквивалентностей: ∀xP(x)A(x) КВАНТОР∀x(P(x) ⊃A(x)) и ∃xQ(x)A(x) КВАНТОР ∃x(Q(x)&A(x)). Часто употребляемый К. единственности ∃!хА(х) ("существует единственное x такое, что А(х)") также выражается через К. общности и существования, напр. так: xA(x) КВАНТОР ∃xA(x)& ∀y∀z(A(y)&A(z)⊃y=z).

Употребительны и др. виды К., не покрываемые понятием ограниченного К. Таковы "числовые" К. вида ∃хnА(х) ("существует в точности n различных x таких, что А(х)"), употребляемый в интуиционистской логике К. "квазисуществования" ∃ хА(х), или ("неверно, что не существует такого х, что А(х)"); с т. зр. классич. логики К. "квазисуществования" ничем не отличается от К. существования, в интуиционистской же логике предложение ∃xA(x), ничего не говорящее о существовании алгоритма для нахождения такого х, что А(х), действительно утверждает лишь "квази" такого x и К. бесконечности ∃x∞A(x) ("существует бесконечно много таких х, что А(х)"). Выражения, содержащие К. бесконечности и числовые К., также могут быть записаны при помощи К. общности и существования. В расширенном исчислении предикатов К. берутся не только по предметным, но и по предикатным переменным, т.е. рассматриваются формулы вида ∃F∀xF(x), ∀Ф∃у(Ф(y)) и т.п.

Лит.: Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с англ., М., 1947, с. 81-108; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, о. 36-42, 100-102, 120-23; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72-80, 130-38; Чёрч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, с. 42–48; Кузнецов А. В., Логические контуры алгоритма, перевода со стандартизованного русского языка на информационно-логический, в сб.: Тезисы докладов на конференции по обработке информации, машинному переводу и автоматическому чтению текста, М., 1961; Mostowski A., On a generalization of quantifiers, "Fundam. math.", 1957, t. 44, No 1, p. 12–36; Hailperin T., A theory of restricted quantification, I–II, "J. Symb. Logic", 1957, v. 22, No 1, p. 19–35, No 2, p. 113–29.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .

Синонимы :

Смотреть что такое "КВАНТОР" в других словарях:

Сущ., кол во синонимов: 1 оператор (24) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

квантор - — Тематики электросвязь, основные понятия EN quantifier … Справочник технического переводчика

Квантор общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…» … Википедия

Общее название для логических операций, к рые по предикату Р(х)строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математич. логике наиболее употребительны квантор всеобщности и квантор существования Высказывание означает,… … Математическая энциклопедия

Квантор - (от лат. quantum сколько) символ, используемый для обозначения некоторых операций математической логики, одновременно логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в… … Начала современного естествознания

Специфическая природа предикатов позволяет ввести над ними такие операции, которые не имеют аналогов среди операций над высказываниями. Имеются в виду две кванторные операции над предикатами.

Квантор общности

Для превращения одноместного предиката в высказывание нужно вместо его переменной подставить какой-нибудь конкретный предмет из области задания предиката. Имеется еще один способ для такого превращения – это применение к предикату операций связывания квантором общности или квантором существования. Каждая из этих операций ставит в соответствие одноместному предикату некоторое высказывание, истинное или ложное в зависимости от исходного предиката.

Определение. называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое истинно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно истинен, и ложно в противном случае, то есть

Словесным аналогом квантору общности " является: «для любого», «для каждого», «для всякого» и т.п.

В выражении переменная х уже перестает быть переменной в обычном смысле этого слова, то есть вместо нее невозможно подставить какие бы то ни было конкретные значения. Говорят, что переменная х связанная .

Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве М = { a 1 , a 2 , …, a n } , то высказывание эквивалентно конъюнкции Р(а 1) Р(а 2) … Р(а n).

Пример 59 .

Пусть х определен на множестве людей М , а Р(х) – предикат «х – смертен» . Дать словесную формулировку предикатной формулы .

Решение.

Выражение означает «все люди смертны». Оно не зависит от переменной х , а характеризует всех людей в целом, т. е. выражает суждение относительно всех х множества М .

Определение. Операцией связывания квантором общности n-местному ( n , сопоставляется новый ( , истинное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве М 1 , тождественно истинен, и ложное в противном случае, то есть:

Квантор существования

Определение. называется правило, по которому каждому одноместному предикату Р(х), определенному на множестве М, сопоставляется высказывание, обозначаемое , которое ложно в том и только в том случае, когда предикат Р(х) тождественно ложен, и истинно в противном случае, то есть

Словесным аналогом квантору существования $ является: «существует», «найдется» и т.п.

Подобно выражению , в выражении переменная х также перестает быть переменной в обычном смысле этого слова: это — связанная переменная .

Если одноместный предикат Р(х) задан на конечном множестве М = { a 1 , a 2 , …, a n } , то высказывание эквивалентно дизъюнкции Р(а 1) Р(а 2) … Р(а n).

Пример 60.

Пусть Р(х) – предикат «х – четное число» , определенный на множестве N . Дать словесную формулировку высказыванию , определить его истинность.

Решение.

Исходный предикат Р(х): «х – четное число» является переменным высказыванием: при подстановке конкретного числа вместо переменной х он превращается в простое высказывание, являющееся истинным или ложным, например,

при подстановке числа 5 – ложным, при подстановке числа 10 – истинным.

Высказывание означает «во множестве натуральных чисел N существует четное число». Поскольку множество N содержит четные числа, то высказывание истинно.

Определение. Операцией связывания квантором существования по переменной х 1 называется правило, по которому каждому n-местному (n 2) предикату Р(х 1 , х 2 , …, х n), определенному на множествах М 1 , М 2 , …, М n , сопоставляется новый (n-1)-местный предикат, обозначаемый , который для любых предметов , превращается в высказывание , ложное в том и только в том случае, когда одноместный предикат , определенный на множестве М 1 , тождественно ложен, и истинное в противном случае, то есть:

Выше уже было сказано, что переменная, на которую навешен квантор, называется связанной, несвязанная квантором переменная называется свободной . Выражение, на которое навешивается квантор, называется областью действия квантора и все вхождения переменной, на которую навешен квантор, в это выражение являются связанными. На многоместные предикаты можно на разные переменные навешивать различные кванторы, нельзя на одну и ту же переменную навешивать сразу два квантора.

Пример 61.

Пусть предикат Р(х, у) описывает отношение «х любит у» на множестве людей. Рассмотреть все варианты навешивания кванторов на обе переменные. Дать словесную интерпретацию полученных высказываний.

Решение.

Обозначим предикат «х любит у» через ЛЮБИТ(х, у) . Предложения, соответствующие различным вариантам навешивания кванторов, проиллюстрированы на рис. 2.3-2.8, где х и у показаны на разных множествах, что является условностью и предпринято только для объяснения смысла предложений (реальные множества переменных х и у , очевидно, должны совпадать):

— «для любого человека х существует человек у , которого он любит» или «всякий человек кого-нибудь любит» (рис. 2.3).

Рис. 2.3. Иллюстрация к высказыванию «для любого человека х существует человек у , которого он любит» или «всякий человек кого-нибудь любит»

В логике предикатов рассматриваются две операции, которыё превращают одноместный предикат в высказывание, для этого используются специальные слова, которые ставят перед предикатами. В логике их называют кванторами.

Различают два вида кванторов:

1. Квантор общности;

2. Квантор существования.

1. Квантор общности.

Пусть имеется предикат Р(х) определенный на множестве М

Символ называют квантором всеобщности (общности). Это перевернутая первая буква английского слова All- все. Читают «все», «каждый», «любой», «всякий». Переменную х в предикате Р(х) называют свободной (ей можно придавать различные значения из М), в высказывании же х называют связанной квантором всеобщности.

Пример №1: Р(х) – «Простое число х нечетно»

Добавим квантор общности – «Всякое простое число х нечетно» - ложное высказывание.

Под выражением понимают высказывание истинное, когда Р(х) истинно для каждого элемента х из множества М и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х.

2. Квантор существования.

Пусть P(x) -предикат определенный на множестве М. Под выражением понимают высказывание , которое является истинным, если существует элемент , для которого P(x) истинно, и ложным – в противном случае. Это высказывание уже не зависит от x. Соответствующее ему словесное выражение звучит так: “Существует x, при котором P(x) истинно.” Символ называют квантором существования. В высказывании переменная x связана этим квантором (на нее навешен квантор).

(Читают: «Существует такое х из М, при котором Р от х истинно»)

Под выражением понимают высказывание, которое является истинным, если существует элемент х€М (хотя бы один), для которого Р(х) истинно, и ложным в противном случае.

Пример №2: Р(х) «Число х кратно 5»

Любое натуральное число кратно 5»

Каждое натуральное число кратно 5» ложные высказывания

Все натуральные числа кратны 5»

Существует натуральное число кратно 5

Найдется натуральное число кратно 5 истинные высказывания

Хотя бы одно натуральное число кратно 5

Кванторные операции применяются и к многоместным предикатам. Пусть, например, на множестве М задан двухместный предикат P(x,y). Применение кванторной операции к предикату P(x,y) по переменной x ставит в соответствие двухместному предикату P(x,y) одноместный предикат (или одноместный предикат ), зависящий от переменной y и не зависящий от переменной x. К ним можно применить кванторные операции по переменной y, которые приведут уже к высказываниям следующих видов:

Для построения отрицаний с кванторами надо:

1) квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности;

2) предикат заменить его отрицанием.

Таким образом, справедливы формулы:

Отрицание предложения записывать как , а отрицание предложения – как . Очевидно, что предложение имеет тот же смысл, а следовательно, то же значение истинности, что и предложение , а предложение – тот же смысл, что . Иначе говоря, равносильно ; равносильно .

П р и м е р №3. Построить отрицание высказывания «некоторые двузначные числа делятся на 12».

Р е ш е н и е. Заменим квантор существования (он выражен словом «некоторые») на квантор общности «все» и построим отрицание предложения, стоящего после слова «некоторые», поставив частицу «не» перед глаголом. Получим высказывание «Все двузначные числа не делятся на 12».

П р и м е р №4. Сформулировать отрицание высказывания «В каждом классе хотя бы один ученик не справился с контрольной работой».

Р е ш е н и е. Данное высказывание содержит квантор общности, выраженный при помощи слова «каждый», и квантор существования, выраженный при помощи слов «хотя бы один». По правилу построения отрицаний высказываний с кванторами надо квантор общности заменить на квантор существования, а квантор существования – на квантор общности и убрать у глагола частицу «не». Получим: «Найдется такой класс, в котором все ученики справились с контрольной работой».

Кроме рассмотренных выше операций, мы будем употреблять еще две новые операции, связанные с особенностями логики предикатов. Операции эти выражают собой утверждения общности и существования.

Квантор - некоторый способ приписать наличие каких-либо свойств целому множеству объектов: (квантор общности) или просто (), (квантор существования).

1. Квантор общности. Пусть R (x) - вполне определенный предикат, принимающий значение И или Л для каждого элемента х некоторого поля М. Тогда под выражением (x)R(x) мы будем подразумевать высказывание истинное, когда R(х) истинно для каждого элемента х поля М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «для всякого х R (х) истинно».

Пусть теперь И(х)-формула логики предикатов, принимающая определенное значение, если входящие в нее переменные предметы и переменные предикаты замещены вполне определенным образом. Формула И(х) может содержать и другие переменные, кроме х. Тогда выражение И(х) при замещении всех переменных как предметов, так и предикатов, кроме х, представляет собой конкретный предикат, зависящий только от х. А формула (х)И(х) становится вполне определенным высказыванием. Следовательно, эта формула вполне определяется заданием значений всех переменных, кроме х, и, значит, от х не зависит. Символ (х) называется квантором общности .

2. Квантор существования. Пусть R(х) - некоторый предикат. Мы свяжем с ним формулу (x)R(x), определив ее значение как истину, если существует элемент поля М, для которого R(х) истинно, и как ложь в противном случае. Тогда если И(х) - определенная формула логики предикатов, то формула (x)И(x) также определена и от значения х не зависит. Знак (x) называется квантором существования .

Кванторы (х) и (х) называются двойственными друг другу.

Мы будем говорить, что в формулах (х)И(х) и (x)И(x) кванторы (х) и (х) относятся к переменному х или что переменное х связано соответствующим квантором.

Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем называть свободным переменным . Таким образом, мы описали все формулы логики предикатов.

Если две формулы И и В, отнесенные к некоторому полю М, при всех замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определенными на М, индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из М, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле М. (При замещениях переменных предикатов, высказываний и предметов мы, конечно, те из них, которые в формулах И и В обозначены одинаковым образом, замещаем также одинаковым образом).

Если две формулы равносильны на любых полях М, то мы будем их называть просто равносильными. Равносильные формулы могут быть замещаемы одна другой.

Равносильность формул позволяет приводить их в разных случаях к более удобному виду.

В частности, имеет место: И→ В равносильно И В.

Пользуясь этим, мы можем для любой формулы найти равносильную, в которой из операций алгебры высказываний имеются только &, и -.

Пример: (x)(А(х)→(у)В(у)) равносильна (x)(А(х)(у)В(у)).

Кроме того, для логики предикатов имеются равносильности, связанные с кванторами.

Существует закон, связывающий кванторы со знаком отрицания. Рассмотрим выражение (х)И(х).

Высказывание «(х)И(х) ложно», равносильно высказыванию: «существует элемент у, для которого И(у) ложно» или, что то же, «существует элемент у, для которого И(у) истинно». Следовательно, выражение (х)И(х) равносильно выражению (у)И(у).

Рассмотрим таким же образом выражение (х)И(х).

Это есть высказывание «(х)И(х) ложно». Но такое высказывание равносильно высказыванию: «для всех у И(у) ложно» или «для всех у И(у) истинно». Итак, (х)И(х) равносильно выражению (у)И(у).

Мы получили, таким образом, следующее правило:

Знак отрицания можно ввести под знак квантора, заменив квантор на двойственный.

Мы уже видели, что для каждой формулы существует равносильная ей формула, которая из операций алгебры высказываний содержит только &, и -.

Пользуясь равносильностями для каждой формулы можно найти равносильную, в которой знаки отрицания относятся к элементарным высказываниям и элементарным предикатам.

Для аксиоматического описания логики предикатов предназначено исчисление предикатов.

Исчисление предикатов - некоторая аксиоматическая система, предназначенная для моделирования некоторой среды и проверки каких-либо гипотез относительно свойств этой среды при помощи разработанной модели. Гипотезы при этом утверждают наличие или отсутствие некоторых свойств у некоторых объектов и выражаются в виде логической формулы. Обоснование гипотезы сводится, таким образом, к оценке выводимости и выполнимости логической формулы.

При изучении высказывательных форм (предикатов) был указан один из способов получения высказываний: подстановка какого-нибудь значения переменной в Р(х) из некоторого множества А. Например,

Р(х):” х - простое число”. Подставив х = 7, получим высказывание

“ 7 - простое число”. Мы познакомимся ещё с двумя логическими операциями: навешивание квантора общности и квантора существования, которые позволяют получить из высказывательных форм высказывания.

Подставим перед высказывательной формой Р(х) слово “любое”: “ любое х - простое число”. Получили ложное высказывание. Подставим перед Р(х) слово “некоторые”: “ некоторые числа х - простые”. Получили истинное высказывание.

В математике слова “любые”, “некоторые” и их синонимы называются кванторами, которые соответственно называются квантор общности (") и квантор существования ($). Квантор общности заменяется в словесных формулировках словами: любой, все, каждый, всякий и т.д. Квантор существования в словесной формулировке заменяется словами: существует, хотя бы один, какой-нибудь найдётся и т.д.

Пусть Р(х) - высказывательная форма на М. Запись

("хÎМ) Р(х)

означает: для любого элемента х (из множества М) имеет место Р(х), что уже представляет собой высказывание. Чтобы доказать, что высказывание ("х)Р(х) - истинно, надо перебрать все элементы а, b, с и т.д. из М и убедиться, что Р(а), Р(b), Р(с),... истинны, и, если невозможно перебрать элементы М, должны доказать с помощью рассуждений, что для любого а из М высказывание Р(а) истинно. Чтобы убедиться, что ("х)Р(х) ложно, достаточно найти лишь один элемент аÎМ, для которого Р(а) ложно.

ПРИМЕР . Дана высказывательная форма

В(х):” - простое число”.

В(1): 2 2 + 1 = 5 - простое число;

В(2): = 17 - простое число;

В(3): = 257 - простое число;

В(4): = 65537 - простое число.

Можно ли сказать, что ("х)В(х) ? Это необходимо доказывать. Леонард Эйлер доказал, что В(5) - ложно, т.е. + 1 = 2 32 + 1 делится на 641 и, следовательно, ("х)В(х) - ложно.

ПРИМЕР . Рассмотрим высказывание ("х)С(х), где на N задано С(х): “х 3 + 5х делится на 6”.

Очевидно, С(1), С(2), С(3), С(4) истинны. Но если мы проверим даже миллион значений х всегда есть опасность, что для миллион первого значения х утверждение С(х) окажется ложным.

Доказать можно, например, так:

х 3 + 5х = х 3 - х + 6х = х(х 2 - 1) + 6х = (х - 1)х(х + 1) + 6х

Выражение (х - 1)х(х + 1) делится на 3, так как из трех последовательных натуральных чисел по крайней мере одно делится на 3; это выражение делится и на 2, так как из трех последовательных чисел одно или два числа чётны. Второе слагаемое 6х делится на 6, следовательно и вся сумма делится на 6, т.е. ("х)С(х) - истинно.

Пусть С(х) некоторая высказывательная форма. Запись

означает: существует элемент х из множества М, для которого имеет место С(х). ($х)С(х) уже высказывание. Если во множестве М можно найти элемент а, для которого С(а) истинно, то высказывание($х)С(х) - истинно. Если же в М нет ни одного элемента а, для которого С(а) истинно, высказывание ($х)С(х) - ложно.

ПРИМЕР . На множествеN задано С(х):” ”. С(1) - ложно, С(2) - ложно, С(5) - истинно. Следовательно, ($х)С(х) - истинное высказывание.

ПРИМЕР . На множестве N задано К(х):” х 2 + 2х + 3 делится на 7”. К(1) = 6, 6 не делится на 7; К(2) = 11, 11 не делится на 7 и т.д.

Гипотеза: ($х)К(х) - ложно.

Докажем это. Любое натуральное число по теореме о делении с остатком можно представить в виде n = 7q + r, где r < 7.

n 2 + 2n + 3 = (7q + r) 2 + 2(7q + r) + 3 = 7(7q 2 + 2qr + 2q) + r 2 + 2r + 3.

Итак, число n 2 + 2n + 3 делится на 7 тогда и только тогда, когда r 2 + 2r + 3 делится на 7. Остаток r Î { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. Методом перебора убедимся, что r 2 + 2r + 3 не делится на 7. Итак, ($х)К(х) - ложно.

Как построить отрицание высказывания с квантором?

Для того чтобы построить отрицание высказывания с квантором, нужно заменить квантор общности (") на квантор существования ($) и, наоборот, квантор существования на квантор общности, а предложение, стоящее после квантора, на его отрицание, т.е.

[("x)P(x) Û ($x) P(x);

[($x)P(x) Û ("x) P(x).

Например, пусть даны два высказывания:

А: “каждое простое число нечётно”;

В: “ каждое простое число чётно”.

Будет ли В отрицанием высказывания А? Нет, так как ни одно из высказываний не является истинным. В данном случае

А: “не каждое простое число нечётно, т.е. существует чётное простое число” - истинное высказывание.

В дальнейшем считаем, что построено отрицание предложения, если не просто записано его отрицание, но и полученное предложение преобразовано к виду, где знаки отрицания стоят перед более простыми выражениями. Например, отрицанием предложения вида А Ù В будем считать не (А Ù В), а ему равносильное: А Ú В.

Пусть А(х,у) - высказывательная форма с двумя переменными.

Тогда ("х)А(х,у), ($х)А(х,у), ("х)А(х,у), ($х)А(х,у) тоже высказывательные формы но уже с одной переменной. В этом случае говорят, что квантор связывает одну переменную. Чтобы получить из высказывательной формы А(х,у) высказывание необходимо связать обе переменные. Например, ("х)($у)А(х,у) - высказывание.

Для высказывательной формы Р(х,у): “ x < y”, заданной на Z , рассмотрим все случаи получения высказывания путем добавления (навешивания) кванторов:

1) ("х)("у)Р(х,у) Û л - “ Для всякого х и для всякого у х < y”;

2) ("у)("х)(х < y) Û л - “Для всякого у и для всякого х х < y”;

3) ($x)($y) (x < y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

4) ($у)($х) (х < y) Û и - “Существует х и существует у такие, что x < y”;

5) ("х)($у) (x < y) Û и - “Для всякого х существует у такое, что x < y”;

6) ($у)("х) (x < y) Û л - “Существует у такое, что для всякого х х < y”;

7) ("у)($х) (х < y) Û и - “Для всякого у существует х такое, что x < y”;

8) ($х)("у) (x < y) Û л - “Существует x такое, что для всякого y х < y”.

` Обратите внимание на высказывания (1) и (2), (3) и (4). Структуры этих высказываний отличаются лишь порядком следования одноименных кванторов, но при этом не меняются смысл и значения истинности высказываний.

Высказывания (5) и (6), (7) и (8) отличаются порядком следования разноимённых кванторов, что приводит к изменению смысла и, возможно, значения истинности высказывания. Высказывание (7) утверждает о наличии в Z наименьшего числа, что ложно. (8) утверждает об отсутствии такого, что истинно.

Теоретические вопросы:

1. Понятие предиката от одного, нескольких переменных.

2. Примеры одноместных и двуместных предикатов. 3. Область истинности предиката.

4. Кванторы общности и существования. Свободные и связанные переменные. Операции над предикатами. Какова область истинности ; ; ; ? Дать геометрические интерпретации.

5. Преобразование формул логики предикатов. Определение тождественно истинного и тождественно ложного предиката, связь с областью истинности. Основные равносильности.

Упражнения

5.1. Укажите несколько значений переменных, при которых следующие предикаты истинны, ложны:

1. х 2 , х Î N; 9. = - x, x Î R;

2. х < 1 , x Î N ; 10. > 0 ,

3. x > 6® x ³ 3 , xÎZ; 11. sin x = - , xÎ R;

4. x + 3x +6 = 0 , x Î R; 12. cos x = , x ÎR;

5. = 0, xÎR; 13. x ³ y , x,y Î R;

6. | x - 5 | < 2, 14. x + y < 3, x,yÎ N;

7. | 2x + 3 | ³ 2x + 3, x Î R; 15. x (y - 1) = 0, x,yÎR;

8. = x, x Î R; 16. x + y =4, x, y ÎR.

5.2. Найдите область истинности предикатов упражнения 5.1. Случаи 13 - 16 изобразите на координатной плоскости.

5.3.